Билеты: Задачи Лоповок

сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь.

124. Основания трапеции 7 и 17 см. Прямая, параллельная основаниям, разделила

трапецию на равновеликие части. Най­дите длину отрезка прямой, ограниченного

боковыми сторонами трапеции.

125. Через внутреннюю точку М треугольника АВС проведе­ны три прямые,

соответственно параллельные сторонам тре­угольника АВС. Площади

образовавшихся треугольников с вер­шиной М равный), иг, <5з Найдите площадь

треугольника АВС.

Правильные многоугольники

126. На сколько областей делят плоскость прямые, на кото­рых лежат все

стороны данного правильного: а) шестиугольни­ка; б) восьмиугольника?

127. Треугольник АВС — равносторонний. Вне его построе­ны квадраты

АВВ\А\, АСС\Ач, ВССчВч. Прямые АА\ и ССа, ВВ1 и СС\, АА-г и

ВВг пересекаются в точках К, Ь, М (рис. 48). Докажите, что

шестиугольник АКСЬВМ — правильный.

128. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке О, зная,

что концы одной малой диагонали лежат на двух данных прямых.

129. Постройте правильный восьмиугольник, у которого центр находится в данной

точке О, а концы двух апофем, про­веденных к смежным сторонам,

находятся на данной окружно­сти и данной прямой.

130. Как изменится решение задачи 129, если концы назван­ных апофем лежат на

данной окружности, центр которой не О?

131. На сторонах квадрата АВС^ вне его построены равно­сторонние

треугольники АВК, ВСМ, СОР, ВАТ. Докажите, что середины отрезков

КМ, МР, РТ, ТК, АК, ВК, ВМ, СМ, СР, ОР, ОТ, АТ являются вершинами

правильного двенадцати­угольника.

132. Останется ли верным заключение задачи 131, если названные треугольники

построены внутри квадрата?

133. Точка М находится в плоскости правильного шести­угольника АВСВЕР.

Докажите, что можно построить шести­угольник, длины сторон которого равны

расстояниям от точки М до вершин А, В, С, ^, Е, Р.

134. Известно, что некоторый пятиугольник имеет не менее двух осей симметрии.

Является ли он правильным?

135. Выпуклый шестиугольник вписан в окружность и име­ет 3 оси симметрии.

Является ли он правильным?

136. Выпуклый двенадцатиугольник вписан в окружность. Известно, что он имеет

3 оси симметрии. Является ли он пра­вильным?

137. Докажите следующие утверждения о разности диагона­лей правильного

многоугольника А\АчАз..Ап'- а) при га = = 9 А\А^—А\Аг

равна стороне многоугольника; б) при га = 18 А\Ад — А\Ач == А\А^.

138. Квадрат вписан в окружность. Через середины каждых двух смежных сторон

квадрата построена прямая. Докажите, что точки пересечения этих прямых с

окружностью и вершины квадрата являются вершинами правильного

двенадцатиуголь­ника.

139. Прямая проходит через центр равностороннего тре­угольника АВС и

пересекает сторону ВС. Под каким углом к ВС нужно строить эту

прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный двумя сторонами треугольника, имел

наименьшую возможную длину?

140. Через центр квадрата проходят прямые. Докажите, что для всех этих прямых

сумма квадратов их расстояний от вер­шин данного квадрата одинакова.

141. Останется ли верным утверждение задачи 140, если вместо квадрата дан

равносторонний треугольник; правильный шестиугольник?

142. Отрезки, соединяющие середину каждой стороны квад­рата с концами

параллельной стороны, ограничили выпуклый восьмиугольник (рис. 49). Является

ли он правильным?

143. В треугольник вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании

треугольника, а две — на боковых сторо­нах. Докажите, что сторона квадрата

больше радиуса, но мень­ше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник.

144. Постройте правильный шестиугольник с центром в дан­ной точке, зная, что

концы одной из больших диагоналей шести­угольника лежат на данной прямой и на

данной окружности.

145. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин

данного правильного многоугольника наимень­шая возможная.

146. а.п и Ьп — стороны вписанного и описанного правиль­ных

многоугольников с числом сторон п. Докажите, что а|п =--^-а Ъ

— о ^п^п.

147. Впишите в данный правильный шестиугольник наи­больший возможный квадрат.

Площадь многоугольника

148. Середины сторон выпуклого шестиугольника после­довательно соединены

отрезками. Докажите, что площадь по­лученного шестиугольника больше половины

площади началь­ного шестиугольника.

149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных

правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.

150. Решите задачу 149 для четырех правильных шести­угольников.

151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпук­лого равностороннего

многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника

одинакова.

152. Площадь правильного шестиугольника равна — про­изведения длин двух

неравных диагоналей. Докажите.

153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали.

Какой именно?

154. АВ и СВ — параллельные стороны правильного

две­надцатиугольника, АС и ВО не пересекаются. Докажите, что

АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.

155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен

такой: «Выразите площадь правиль­ного восьмиугольника А\А•^А^А^А^А!,А^Ау.

через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д2 У2;

2) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) А\Аз Х X

А\А^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех

диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) удвоенное произведение стороны на диагональ А\А^;

6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов

правильны?

156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правиль­ный восьмиугольник.

На сколько процентов уменьшилась пло­щадь фигуры?

157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину

шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых

относятся, как 1 : 3. Найди­те длину отрезка прямой, ограниченного сторонами

шести­угольника.

158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезка­ми, которые не

пересекаются и делят стороны -АО и ВС на три равные части (рис. 50).

Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника

АВСВ.

Длина окружности

160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на

диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника.

При каком условии обе окружности равны?

161. Сторона квадрата АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая

проходит через точки А v. В ти касается стороны СО квадрата.

162. В окружность радиуса Л вписан правильный двена­дцатиугольник. Его малые

диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите

ее длину.

163. В окружность радиуса Д вписан равносторонний тре­угольник АВС.

Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений

сторон АВ и АС треуголь­ника.

164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна

другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину

окружности, касающей­ся этих трех окружностей.

165. Периметр равностороннего треугольника АВС равен Р. Найдите длину

окружности, которая касается стороны АВ и ме­диан АВ и ВЕ.

166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы

его построения:

а) Герона Александрийского:

б) А. Коханского: АВ — диаметр окружности, СВ —

каса­тельная, проходящая через точку В; А- СОВ == 30°, СВ == ЗЛ.

Искомый отрезок — АВ (рис. 51);

в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины

окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9.

Проверьте точность построения отрезка этими способами.

. 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около

равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных

окружностей.

Длина дуги окружности

168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны.

169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги,

стягиваемые этими хордами.

170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам тре­угольника вне его

катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот

вокруг треугольника.

171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне

его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что

все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника.

Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника.

172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности

радиуса а. Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника,

ограниченного названными окружно­стями.

173. Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины двух

из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые

диагональ прямо­угольника образует с его сторонами.

174. Радианные меры двух углов треугольника -^- и -^ .

Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов.

175. Вершина А равностороннего треугольника АВС являет­ся

центром окружности, проходящей через точки В и С. Бис­сектрисы углов В и С

пересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных

углов, соответствую­щих дугам РВ, ВС, СМ, МР.

Площадь круга и его частей

176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника,

как на диаметре, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга,

находящейся внутри треугольника.

177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь­ника о. На катете,

как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга,

которая находится внутри

треугольника.

178. АВ — основание полукруга, точка М находится на окружности.

Построены полукруги с диаметрами АМ и ВМ. До­кажите, что сумма

площадей луночек (то есть частей полу­кругов, находящихся вне большого

полукруга) равна площади

треугольника АМВ.

179. АВ — диаметр полукруга, С — точка этого диаметр" СО —

перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на ок­ружности.

Построены полуокружности диаметров АС та ВС внутрь полукруга. Докажите,

что площадь фигуры, ограничен­ной тремя названными полуокружностями (она

называется арбелоном) равна площади круга диаметра СВ (рис. 52).

180. На диаметре полукруга АВ отложены равные отрезки АВ и СО.

На АВ и СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого

полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и ОР

проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что

площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра

ЕР.

Теорема косинусов

181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах)

выражаются последовательными не­четными числами, а один из углов вдвое больше

суммы

остальных.

182. Вычислите величины углов вписанного в окружность

четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.

183. Докажите, что в треугольнике АВС: аЬ сое С +

+ ас соз В + Ьс соа А ^ — Р2.

^•"ж"

' •'. \

184. Медианы АО и ВД треугольника АВС взаимно перпен­

дикулярны, докажите, что 5 АВ2 == АС2'

+ ВС2.

185. Вычислите (аЪ соа С + ас соа В + Ьс сов А) : (а2 + Ь'г+

-(- с2), где а, Ь, с, /- А, /- В, /- С — элементы

одного треуголь­ ника.

186. На диаметре АВ окружности взята точка М; хорда СО

параллельна АВ. Докажите, что величина МС2 + МО

2 не

1 зависит от выбора точки С.

187. На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника

построены квадраты. Найдите сумму квадра­тов сторон шестиугольника, вершинами

которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.

188. Квадрат произведения длин диагоналей параллело­грамма равен сумме

четвертых степеней длин двух смежных сторон. Найдите величины углов

параллелограмма.

189. Точка М находится на стороне ВС треугольника АВС.

Докажите, что АМ2 • ВС = АВ2 • СМ + АС

2 ' ВМ — ВС • ВМ X X СМ.

190. Окружности радиусов 1 и 2 касаются одна другой внешним образом и

касаются окружности радиуса 3 внутрен­ним образом. Найдите радиус окружности,

которая касается всех трех названных окружностей.

191. Внешние углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно

а, (3, у, докажите, что аЬ (1 — сое у) -\- ас (1 —

- С08 Р) + ЬС (1 - С08 и) == 4- Р2-

л

192. Докажите, что в треугольнике АВС'. аа ' с ~ ' =

о (6 + с — в)

_ 1 — сов А ~~ 1 — соа В '

193. Докажите, что треугольник АВС — остроугольный, если:

а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99

см, а длина наименьшей стороны 29 см.

194. Центр вписанной в прямоугольный треугольник окруж­ности удален от концов

гипотенузы на 7 и 5 -л/2 см. Найдите длины сторон треугольника.

195. Докажите правильность формул для вычисления

площади треугольника: 8 =^ — -\/4 а^Ь2 — (о2 + Ь2 —• с2)2 =

= -1- -узГ^Ь2 + оУ + Ь^с2) - (а4 + Ь4 + с4).

196. Докажите, что в треугольнике АВС:

& С08 А + Ъ С08 В + С С08 С __ Г

о + Ь + с Л

197. Докажите, что в четырехугольнике АВСВ: АВ2 == == 4В

2 + ВС2 + СО2 - 2 АВ • ВС . сое В - 2 ВС

• СО • сов С+ + 2АВ • СО • соз (А + О).

8 9-12« 65

198. Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырех­угольника равна сумме

квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон

пересекаются по, р прямым углом. Докажите.

Теорема синусов

199. Площадь треугольника АВС равна О. Определите величину а2 вт 2В + Ь2 ат 2А.

200. Точка М находится внутри треугольника АВС. Лучи АМ, ВМ,

СМ делят углы треугольника на части ои и оса, ?1 и {За, vi и у-г-

Докажите, что вт а\ • вт р) • аш vi ==- ет К2 X

X 8Ц1 ?2 8Ш •У2.

201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, обра­зуют со сторонами при

этих вершинах такие углы ои, »2, Рь

^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 == В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ

пересекаются в одной точке. Докажите.

202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехуголь­ника?

203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треуголь­ника делит сторону

на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к

отрезкам стороны.

204. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

Докажите, что АН == -——.

205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пере­секаются в точке О.

М\ и Мч — центры масс треугольников ВОС и АОВ, Н\ и

Й2 — ортоцентры треугольников АВО и СОО. Используя результат

задачи 204, докажите, что прямые М\Мч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны.

206. АВ и АС — хорды окружности. На продолжении АВ

отмечена точка N на расстоянии АВ от АС и на продолжении

АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите,

что МН равен диаметру данной окружности.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

207. Докажите, что в треугольнике Тоа == — "л/262 + 2с2 — о2.

А

208. Используя результат задачи 207, установите, что".

а) т1 + т1 + от? = -|-(о2 + Ь2 + с2); б) от4 + т1 + те4 =

-^(о4+&4+с4).

209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы

квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами

диагоналей.

210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей

равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.

211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры

треугольников АВО, ВСО и параллело­грамма соответственно 28, 30 и 48

см. Найдите диагонали параллелограмма.

212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти

длины диагоналей?

213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон

параллелограмма?

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

и следствия из них

1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей

определяют эти точки?

2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой

ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).

3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных

прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.

4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли

утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?

5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней

мере, три вершины данного куба?

6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?

7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько

различных плоскостей могут определять эти точки?

8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии

пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на

прямой, по которой пересекаются а и р.

9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем

никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же

плоскости.

10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в

одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости.

Докажите, что все эти точки лежат в одной плос­кости.

Параллельность прямых в пространстве

12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая

плоскость, пересекающая одну из них, пере­секает и другую.

13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограм­ма К^МN,

причем К — середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина

СО. Является ли N серединой отрезка А07

14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в од­ной плоскости.

Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить

через эти точки прямые, которые не пере­секают ни одной из названных

плоскостей?

16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые

пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая — в точке

С и еще одной, которую требуется построить.

17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Дока­жите, что середины

шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех

параллелограммов.

18. Точка М лежит вне плоскости правильного шести­угольника АВСОЕР.

Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС,

параллельна: а) АО; б) СО?

19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям

шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА

и МС.

20. Точка М находится вне плоскости правильного пяти­угольника АВСОЕ.

Каким сторонам или диагоналям пятиуголь­ника параллельна прямая, проходящая

через центры масс тре­угольников МАВ и МАЕ7

21. М и N—центры граней АВВ\А\ и ВСС\В\ куба

АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямая

МН?

22. АВСОЕР — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной

плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и

ЕР равны и параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ'!

23. АВСТ) — квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой

вершины квадрата на 7 см. Определите рас­стояние от середины отрезка МА

до середин всех сторон квадрата.

24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О,

находящаяся вне плоскости шестиугольника, соеди­нена отрезком с каждой его

вершиной. Из центра масс треуголь­ника ОАВ проведены до пересечения в

точках М), Мч, Мз, М^, Мв, Мб с плоскостью шестиугольника

прямые, соответственно параллельные ОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР. Найдите

периметр и площадь шестиугольника М\МчМгМ^МъМ^.

25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их пересечения

либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

26. АВСО — квадрат со стороной 6 см, прямые АМ и СТ

параллельны. На них по одну сторону от квадрата отмечены такие точки М и

Т, что МА : ТС ==4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата

находится точка, в которой прямая МТ пересекает плоскость квадрата?

Параллельность прямой и плоскости

27. Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каж­дую точку плоскости б

можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости <т, либо

принадлежит плоскости о. Является ли названная прямая единственной

прямой, обла­дающей таким свойством?

28. Через точку М, не принадлежащую плоскостям а и (3, можно построить

только одну прямую, параллельную этим плоскостям. Докажите, что плоскости а

и |3 пересекаются.

29. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух медиан

треугольника и пересекающая его плоскость, па­раллельна одной из его сторон.

30. Точка М находится вне плоскости параллелограмма АВСТ). Постройте

линию пересечения плоскостей АВМ и СОМ. Параллельна ли она

плоскости параллелограмма?

31. По условию задачи 21 докажите, что прямая МN парал­лельна плоскости:

а) АВС; б) А\В\С\; в) проходящей через ребра АА\ и СС).

32. АВСОА^В\С\0\ — куб. Докажите, что ребро 00\ парал­лельно

плоскости: а) АВВ\; б) ВСС\; в) проходящей через ребра АА\

и СС|; г) проходящей через середины ребер а\в{, АВ, ВС.

Параллельность плоскостей

33. Стороны двух углов соответственно параллельны. Докажите, что либо эти

углы равны, либо сумма их градусных мер равна 180°.

34. Стороны параллелограммов АВСТ) и А\В\С\0\ соответ­ственно

параллельны. Пересекаются ли в одной точке отрезки АС\, В0\, СА\ и

ОВ\7 Если не всегда, то при каком условии они обязательно имеют общую точку?

35. На одной из параллельных плоскостей даны точки А и В, на

другой — точки С и О. Середины отрезков АС и ВО не

совпадают. Докажите, что прямая, проходящая через эти середины, параллельна

названным плоскостям.

36. Точка М находится вне плоскости параллелограмма АВСО. Лежат

ли в одной плоскости середины отрезков МА, МВ, МС, МО?

37. Через вершины правильного шестиугольника АВСВЕР проведены

параллельные прямые, пересекающие его плоскость. Докажите, что плоскости,

проходящий через прямые ВВ\ и РР\, СС\ и ЕЕ\, делает

отрезок с концами на АА\ и ВВ \ на три части, одна из которых

равна сумме двух других.

38. По условию задачи 87 определите, в каком отношении плоскости, проведенные

через АА\ и СС\, АА\ и ВВ\, делят отрезок с концами на

ВВ\ и ЕЕ\.

39. АВСВА\В\С\В\ — куб. Докажите, что плоскость, про­ходящая через

центры граней, содержащих точку А, парал­лельна плоскости В{СВ\.

40. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках А\, А

а, Аз; Другая — в точках В\, Вч, В». Докажите, что А\А^

: В\В'г == А.2^.3 : В^Вз.

41. По условию задачи 40 известно, что А\Аг == 4см, В-гВз = 9

см, АчАз == В\В^ Найдите длины отрезков А\Аз

И В1Вз.

Изображение пространственных фигур

42. Две медианы треугольника АВС соответственно парал­лельны двум

медианам подобного треугольника ВЕР. Парал­лельны ли третьи яедиаяы

атаЕХ треугольников?

43. Изобразите правильный шестиугольник, зная, что данная плоскость делит

пополам две не параллельные и не смежные его стороны.

44. Дано изображение квадрата АВСВ и точки М на стороне А.В.

Постройте изображение прямой, проходящей через А пер­пендикулярно МО.

45. Дано изображение правильного шестиугольника АВСВЕР. Постройте

изображение биссектрис угла: а) АСВ;

б) ВАЕ; в) между АС и ВВ; г) между АС и ВЕ.

46. Чтобы получить изображение правильного восьми­угольника, построили

изображение квадрата АВСВ. Отрезки, соединяющие середины

противоположных сторон, пересеклись в точке О. Каждый из отрезков,

исходящий из точки О, продли­ли на -г- его длины. Полученные точки и вершины

квадрата считали изображением вершин правильного восьмиугольника. Верно ли это?

Если да, определите точность построения (рис. 54).

47. АВСВ — изображение квадрата. На сколько нужно продлить в обе стороны

отрезки, соединяющие середины каж­дых двух соседних сторон квадрата, чтобы

полученные точки и вершины квадрата оказались изображением вершин правиль­ного

двенадцатиугольника?

48. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность.

Укажите на изображении точки касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

49. Дано изображение равнобедренного прямоугольного тре­угольника. Изобразите

квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на

гипотенузе, а две — на катетах.

50. Дано изображение равностороннего треугольника. Изобразите квадрат,

вписанный в этот треугольник.

51. Дано изображение ромба, у которого одна диагональ равна стороне.

Изобразите высоты ромба, проходящие через его центр.

52. Дано изображение прямоугольного треугольника, у ко­торого отношение

катетов равно 2 : 3. Постройте изображение серединного перпендикуляра к

медиане, проведенной к боль­шему катету.

53. Дано изображение квадрата АВСВ. Постройте изобра­жение

равностороннего треугольника АВМ.

54. Дано изображение прямоугольника, у которого отно­шение двух сторон равно

1 : 2. Постройте изображение середин­ного перпендикуляра диагонали этого

прямоугольника.

Задачи на построение в пространстве

55. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех его вершин на плоскости.

Постройте проекции остальных вершин.

56. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех точек, принад­лежащих его

сторонам, на плоскость 6. Найдите проекцию пяти­угольника на эту плоскость.

57. Дана проекция пятиугольника на плоскость и поло­жение трех его вершин.

Найдите положение* остальных вершин.

58. Дана проекция пятиугольника на плоскость б, а также изображения трех

точек плоскости пятиугольника, не лежащих на одной прямой, и их проекции на

плоскость 6. Постройте изображение пятиугольника.

59. Дана прямая I, пересекающая плоскость б, и точка М, не принадлежащая

ни прямой I, ни плоскости 6. Постройте через эту точку ^прямую, которая

параллельна плоскости 6 и пересекает прямую I.

60. Даны плоскость 6 и направление лучей света (то есть изображение

соответствующей прямой и ее проекции на пло­скость 6). Постройте тень данного

квадрата АВСВ на эту плоскость (рис. 55).

61. Даны плоскость 6 и -положение точечного источника света М. Построите

тень данного треугольника на эту плоскость.

62. Прямая АВ лежит в плоскости б, а прямая СВ пере­секает эту

плоскость; данная точка М лежит вне этой плоскости (рис. 56). Постройте

через точку М прямую, которая пересекает АВ и СВ.

63. Дано изображение куба и направление лучей света. Постройте тень куба на

плоскость его основания (рис. 57).

64. Постройте тень куба на плоскость его основания, если дано положение

точечного источника света.

65. Основания двух кубов находятся в одной плоскости. Прямая пересекает

поверхность бдйбго куба в точках А и 3. В Каких Точках о*га 'пересекает

поверхность другого куба?

66. Даны два куба, основания которых находятся на плоскос­ти б, и положение

точечного источника света. Как построить тень одного куба на поверхности

другого?

Перпендикулярные прямые

67. Биссектрисы двух неравных углов равнобедренного треугольника

соответственно параллельны двум биссектрисам углов другого равнобедренного

треугольника. Параллельны ли основания этих треугольников?

68. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника со­ответственно

параллельны биссектрисам двух внутренних углов другого треугольника.

Параллельны ли соответственные биссектрисы внешних углов этих треугольников?

Перпендикуляр к плоскости

69. Сколько различных плоскостей определяют 4 перпен­дикуляра к одной плоскости?

70. Докажите, что прямые а и b параллельны, если они имеют два общих

перпендикуляра.

71. АВСОА\В\С\В\ — куб. Докажите, что любая высота грани АВВ\А \

либо параллельна, либо перпендикулярна

ПЛОСКОСТИ А\В\С1.

72. Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если - они имеют общий

перпендикуляр.

73. Прямые о и Ъ параллельны, о — перпендикуляр к плоскости 6, Ъ —

перпендикуляр к плоскости о. Параллель­ны ли эти плоскости?

^ (? 74. Плоскость 6 не пересекает трапецию АВСВ. Суммы рас­стояний

концов от плоскости б у обеих диагоналей одинаковы. Докажите, что средняя линия

трапеции параллельна плоско­сти 6.

75. Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции,

перпендикулярна плоскости 6. Как распо­ложена относительно этой плоскости

средняя линия тра­пеции?

76. Одна из диагоналей ромба находится на перпендикуляре I: плоскости 6.

Докажите, что вторая диагональ параллельна плоскости 6 или находится на этой

плоскости. ,<$ 77. Расстояния вершин А, В, С параллелограмма

АВСВ от плоскости 6 равны 7, 20, 11 см. Найдите расстояние от вер­шины В

до этой плоскости.

\ <9 78. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, каждая из

которых равно удалена от двух данных точек?

79. Какую фигуру образуют все точки, расстояния которых от двух данных

параллельных плоскостей относятся, как 1 : З?

80. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от плоскости

б и от точки М этой плоскости одинаковы?

^ '^? 81. Точка М находится вне плоскости 6. Одна из сторон треугольника

МАВ находится на плоскости 6. Какую фигуру образуют центры масс всех таких

треугольников?

82. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют центры всех

таких параллелограммов, у каждого из которых одна сторона находится на прямой

I, а другая — на плоскости б?

\ <? 83. Треугольники АВС и АВМ — равносторонние, их

пери­метры равны по 18см. Зная, что СМ== Зт/6 см, укажите на рисунке

перпендикуляр к плоскости АВС.

84. Два квадрата, периметры которых по 24 см, имеют общую сторону. Расстояние

между центрами квадратов 3-\/2 см. Укажите на рисунке перпендикуляры к

плоскостям этих квадратов.

85. Два правильных шестиугольника имеют периметры по 48 см. Отрезок АВ —

их общая малая диагональ, рас­стояние между центрами шестиугольников

4-\/2 см. Изобразите шестиугольники и перпендикуляры к их плоскостям.

Перпендикуляр и наклонная

86. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют концы

наклонных длины а, проведенных к плоскости 6 из точек прямой /?

^ 87. Из точки М к плоскости, не содержащей эту точку,. проведены

наклонные длиной 25 и 40 см. Найдите расстояние от точки М до

плоскости, зная, что сумма проекций наклонных на эту плоскость 39 см.

88. Точка М ^ 6, длины наклонных МА и МВ 30 и 25 см..

Определите расстояние от точки М до плоскости 6, зная, что разность

проекций наклонных на эту плоскость 11 см. •: ^.89. К плоскости 6 из точки М,

не лежащей в этой плоскости, проведены перпендикуляр МО и наклонные

МА и МВ. Зная, что 4 АМВ = 60°, 4 АМО == /- ВМО

= 45°, найдите градус­ную меру угла между проекциями наклонных.

90. Плоскость проходит через основание трапеции на рас­стоянии 8 см от точки

пересечения диагоналей. Найдите от­ношение длин оснований этой трапеции.

91 Вершины треугольника удалены от плоскости 6, не пересекающей его, на 7,

15, 19см. Найдите расстояния от середин медиан треугольника до плоскости 6.

92. Б треугольнике АВС ^ А = /- В = 30°. Найдите на плоскости

АВВ точку с наименьшей суммой расстоянии от вершин треугольника.

93. Концы отрезков АВ и СО лежат на плоскостях б и а, причем точки А

-а С находятся на одной плоскости, а точки В и О—на другой. АВ

= 9 см, СВ = 15 см, АС == 7 см, ВВ =11 см, отрезок

АВ перпендикулярен плоскостям 6 и о. Найдите расстояние между серединами

отрезков АВ

94. В треугольнике АВС: АВ = 5 см, А.С = 7 см, ^. 4 = 60°. Его проекция

на плоскость, параллельную ВС и проходящую через А,—

треугольник с углом 120°. Найдите расстояние от стороны ВС до этой плоскости.

95. Проекция прямоугольного треугольника на плоскость, проходящую через

вершину прямого угла параллельно гипо­тенузе, есть треугольник с углом в 120°

и сторонами этого угла 8 и 9 см. Найдите расстояние от этой плоскости до

гипо­тенузы.

96. Плоскость параллельна наибольшей средней линии пря­моугольного треугольника

АВС. Проекции сторон треугольника на эту плоскость 11, 12, 19 см. Найдите

площадь треугольника

АВС. .„п О 97. Через

вершину А прямоугольного треугольника А-ас

проходит плоскость 6, которая параллельна гипотенузе ВС и удалена от нее

на 24 см. Зная, что ВС = 50 см, а проекции катетов на плоскость 6

относятся , как 9 : 16, найдите площадь

треугольника АВС.

98. В окружность радиуса L вписан равносторонний треугольник АВС, точка

M находится вне его плоскости. Докажите,

что MA2 + МБ2 + МС2 == ^(й2 + МО2), где О — центр окружности.

99. МО — перпендикуляр к плоскости, проходящей через

ее точку O. MA = 10 см, MB = 16 см, ^OAM=^2OBM.

Найдите MO.

100. Из точки M, находящейся вне плоскости б, проведены

к этой плоскости перпендикуляр MO и наклонные MA и MB.

Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, /- АМО = -|- ^ ВМО, найдите МО.

101 Из точки М проведены к плоскости 6 перпендикуляр

МО и наклонные МА, МВ, МС. Проекции МВ и МС меньше проекции

МА на 33 и 48см, ^ОАМ : А.ОВМ : ^ОСМ == =1:2:3. Найдите МО.

Теорема о трех перпендикулярах

102. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от

прямых, содержащих стороны данного треугольника?

103. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от трех прямых, находящихся в плоскости б?

104. Катеты прямоугольного треугольника АВС 12 и 16 см. Точка М

удалена от каждой из прямых АВ, АС, ВС на 13 см. Найдите ее расстояние

от плоскости АВС.

105. Точка М удалена от вершины и сторон прямого угла соответственно на

16, 12, 11 см. Найдите ее расстояние от плоскости прямого угла.

106. На плоскости 6 дан угол в 60°. Точка М удалена от его вершимы на 5. см,

а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстоя­ние от точки М до плоскости

названного угла.

107. Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка М удалена от каждой

стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости

трапеции.

108. На плоскости 6 отмечены точки А и В, на. плоскости а — точки С и В

так, что АВ == 13 см, СО = 14 см, АС == 8 см, ВВ ==17

см, причем прямая АС перпендикулярна плоскостям 6 и ст. Найдите

расстояние между АС и ВВ.

109. Если существует точка, равноудаленная от всех сторон | параллелограмма,

то этот параллелограмм — ромб. Докажите.

Перпендикулярные плоскости

110. Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного

угла (меньше развернутого) и образуют ^ с его сторонами равные углы?

111. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от двух данных пересекающихся прямых?

112. Прямоугольник АВСВ, стороны которого 3 и 4 см, перегнули по

диагонали АС так, что треугольники АВС и АВС оказались

в перпендикулярных плоскостях. Определите рас­стояние между точками В и В

после перегиба.

113. Плоскости » и р перпендикулярны плоскости 6. Докажите, что линия

пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости 6.

114. Концы отрезка АВ лежат на двух данных взаимно периендикуляриых

плоскостях. Опущены перпендикуляры АА 1 и бв[ на линию

пересечения плоскостей. Здая, что АВ = | = 21 см, АА\ •== 11

см, ВВд == 16 см, найдите а\в[. I > ()

115. Квадраты АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2.

Зная, что расстояние между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что

плоскости квадратов взаимно перпендикулярны.

116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок АВ

имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45

е. Найдите угол между направлениями I и АВ.

117. АВСО квадрат, плоскость МАО перпендикулярна плоскости

квадрата, ММ \\ АО На АВ дана точка Т. Как по­строить

через эту точку прямую, образующую равные углы с АВ и Мт

118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО равны по

24 см, плоскости треугольников взаимно перпенди­кулярны. Постройте общий

перпендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.

119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего тре­угольника АВМ

взаимно перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр

прямой АС и медианы МО треугольника и определите длину этого

перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7, 1).

Найдите координаты четвертой вершины.

121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3;

5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.

122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4),

(2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиуголь­ника АВСОЕР:

(—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите коорди­наты остальных вершин и центра

шестиугольника.

124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя

линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой плоскости.

125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4;

3; 1), С(3; 7; —2)?

126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых на­ходятся в

точках А(»; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и

при этом делятся в отношении 1:2.

127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке,

чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости

ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите

координаты точки пере­сечения.

129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от точек с

координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости.

Докажите, что МА2 + МС2 •==- МВ2

+ МО2

131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр

масс которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что

МК == 3 КТ. Докажите, что АК + ВК + СК + МК = 0.

132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ

равные углы, то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ.

Докажите.

133. Верно ли, что, если М. — центр правильного много­угольника

А\АчА^... Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп

== = О?

134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех

вершин данного правильного многоугольника.

135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см.

Найдите длину вектора МА + МВ + МС 4- МО +

МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\. ___

136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +

+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^

Ре — центры граней куба.

137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на

ней отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[ || II ВВ) ||

СС\. Докажите, что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;

б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.

138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно

определить, как совокупность точек М, удовле­творяющих условию АМ =

р АВ, где —оо<:р<:оо. Какое число р соответствует точке

А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из

векторного задания, получить координатное задание прямой?

139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С» можно определить

как совокупность точек М, удовлетво­ряющих условию АМ == р АВ +

0. АС, где — оо < р < оо, — оо <: $ <: оо.

Преобразование фигур в пространстве

140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости 6, на которую

спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей

возможной суммой расстояний от А и В.

141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите

на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N.

142. Точки Л и В находятся по разные стороны плоскости 6, на которую они

спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей

возможной разностью расстояний от точек А и В.

143. АВСВА\В1С\В\—куб. Точка М находится на грани СВВ\С\, а

точка N — на луче А\ А вне куба. Найдите на плос­кости АВС

точку с наибольшей возможной разностью рас­стояний от точек М и N.

144. О — центр грани ВСС\В1 куба АВСВА1В\С\В\. Найдите на

плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А\.

145. Даны точки А(6; О; О), 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с

серединой С и концами на прямой АВ и на плоско­сти хг.

146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10;

3). В результате параллельного переноса верши­на наибольшего угла

переместилась в центр описанной окруж­ности. Найдите новые координаты вершин

треугольника.

147. Выполните параллельный перенос куба АВСВА\В\С\В\, чтобы его вершина

А переместилась в центр грани АВСВ.

148. Выполните параллельный перенос куба авсва\в{с\в\, чтобы центр грани

АВВ\А\ переместился на середину отрез­ка АВ.

149. Известно положение вершин А(1; —3; 4), В(3; 1; —1), С(4; 0; 2)

параллелограмма АВСВ. Построена фигура, сим­метричная параллелограмму

относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка

В.

Углы между прямыми

150. Найдите величины углов между диагоналями куба.

151. Дан куб АВСВА\В\С\В\. Постройте прямую, которая образует углы по

60° с прямыми ВС и А \В\.

152. М — середина ребра СС\ куба АВСВА\В\С\В\. Найдите

угол между А\М и прямой, которая проходит через точку В и

середину отрезка А\М.

153. М — центр грани ВСС\В\ куба. Найдите угол между прямыми А\М и ОМ.

154. Найдите на диагонали ВВ\ куба АВСВА\В\С\В\ такую точку