Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Министерство образования и науки РФ

Таганрогский государственный педагогический институт

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(дипломная работа)

на тему:

«Функциональный метод решения неравенств»

Выполнила:

студентка V курса ОЗО

Завадская Л.В.

Научный руководитель:

старший преподаватель

Полиенко Алла Петровна

Таганрог

2004 г.

Содержание

Введение

Основная часть. Решение неравенств с использованием свойств функции

§ 1 Линейные неравенства

§ 2 Квадратичные неравенства

§ 3 Иррациональные неравенства

§ 4 Показательные неравенства

§ 5 Логарифмические неравенства

§ 6 Некоторые лжепреобразования

Заключение

Литература

Введение.

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это

сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики

и, на данном этапе, недостаточно разработана.

Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной

школе, где используются задания вида: «сравнить числа», «сравнить значения

выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические

задачи, предполагающие составление числовых неравенств.

Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется.

Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала

в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11

классах - 38%.

В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных

навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем

рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в

курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства

основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к

составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции;

исследование функции (монотонность, ограниченность функции).

При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования

процесса решения конкретных задач. На начальных этапах изучения курса алгебры

эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. Затем, по мере

накопления опыта решения неравенств различных классов, все большую роль

приобретает дедуктивное обоснование процесса решения.

Наконец, достигнутый уровень владения различным способами решения позволяет

выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и

логическое следование.

Кроме того, в ходе изучения неравенств широко используется метод интервалов,

наглядно-графический метод и функциональный метод. Наглядно-графический метод

применяют, если неравенство нельзя решить аналитически. Под функциональным

методом решения неравенств понимают метод решения, опирающийся на

использование свойство функций, входящих в неравенство.

Именно изучение роли функционального метода решения неравенств является

целью этой работы.

Функциональный метод используется:

1) в обосновании классических методов решения неравенств (теорем

равносильности, методов интервалов);

2) используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

3) некоторые задачи можно решить разными способами, но более рациональным

методом является функциональный;

4) при решении неравенств, которые являются математической моделью других

задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение

интервалов монотонности.

Решение неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно

нетрадиционно и является творческой задачей.

Задача этой работы обеспечить более полное раскрытие применения

функционального метода к решению неравенств, от простых до сложных.

§ 1 Линейные неравенства

С алгоритмом решения линейных неравенств учащиеся знакомятся в VII классе,

после изучения соответствующего вида уравнений и свойств линейной функции.

Решение линейных неравенств основывается на свойствах числовых неравенств. Но

можно использовать и графическую интерпретацию. Приведем таблицу зависимости

расположения графика линейной функции от значений коэффициентов а и b.

Тогда получаем для неравенства вида:

1) ах > b

(1) При а < 0 и , , т.е. ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , .

2)

(1) При и , ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , .

3)

(1) При и , , т.е. ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , , .

Аналогично для неравенств вида , .

Рассмотрим несколько задач, связанных с решением линейных неравенств.

Пример.

При всех значениях параметра а решить неравенство .

Решение.

После элементарных преобразований получим:

,

.

Далее рассмотрим три случая:

а) если , то есть , то лишь в том случае, когда ;

б) если , то есть , то в том случае, если ;

в) если , то

неравенство примет вид

, т.к. это истинное числовое неравенство, то из этого следует, что любое

действительное число является решением исходного неравенства. Получаем ответ:

при ;

при ;

при

Многие задачи в математике приводят к необходимости решать систему линейных

неравенств. Например, чтобы найти область определения выражения

, надо решить систему

; чтобы найти множество решений неравенства

, надо решить системы

Поэтому специальное внимание в курсе алгебры уделяется системам линейных

неравенств с одной переменной.

Рассмотрим пример, требующий составления систем неравенств.

Пример.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

удовлетворяют условию

.

Решение.

Из области определения уравнения следует, что

и . Преобразуем

данное уравнение:

или .

При уравнение

корней не имеет. Пусть теперь

и , тогда

. Используя условие

, составим и решим систему неравенств:

Решим полученную систему методом интервалов (рис.1)

Рис.1

Ответ: .

Пример.

Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение

неравенства равно

-5.

Решение.

Представим данное неравенство в виде или . Рассмотрим функции и .

Функция - линейная,

ее графиком является прямая линия, параллельная оси ОХ. Поострим график функции

(Рис.4).

Так как данное неравенство должно иметь отрицательные решения, то прямая

должна пересекать график функции

при , причем прямая

должна лежать ниже гиперболы, и так как -5 – это наибольшее отрицательное

решение неравенства, то

- это абсцисса точки пересечения графиков функций

и .

Найдем : , . Таким образом, при а = 6 наибольшее решение неравенства равно -5.

Ответ: а = 6.

Рис.4

Рассмотрим теперь аналогичный метод решения последней задачи.

Пример.

Найдите значение параметра а, при котором наибольшее отрицательное решение

неравенства равно

-5.

Решение.

Так как -5 – решение, то оно должно обращать неравенство в верное, тогда

, , отсюда

, т.е. наибольшее решение неравенства

- а = 6.

Ответ: а = 6.

Пример.

1. Рассмотрим функцию (Рис.1)

2. Из графика функции очевидно, что функция

положительная при всех х, и потому ее можно не учитывать.

3.

Решим неравенство .

4. Функции и очевидно, монотонны.

5. Построим график функции (рис.2).

6. Из графика функции

очевидно, что она монотонна и принимает положительные значения на промежутке

.

7. Таким образом, в

числителе и знаменателе дроби

мы имеем три монотонных функции, обращающиеся в нуль соответственно в точках -3,

2, 3.

8. Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:

, ,

, , на последнем из

которых (рис.3).

9. Следовательно, неравенство имеет место при , а также .

Ответ:

Таким образом, при решении линейных неравенств можно использовать свойства

линейной функции, а также использовать графическую интерпретацию решений

линейных неравенств.

§2 Квадратичные неравенства.

Ранее при решении квадратичных неравенств в школьном курсе использовалась

методика, по которой решение неравенств вида

0 основывалась на результате исследования квадратного трехчлена, полученного

путем довольно сложных аналитических рассуждений.

Принципиально иная методика изложения вопроса о решении неравенств второй

степени с одной переменной предлагается сейчас в VIII классе. При решении

неравенств вида

0 используются соображения о расположении графика квадратичной функции

относительно оси ОХ, которое определяется двумя условиями:

1) является ли значение дискриминанта D квадратичного трехчлена

положительным числом, нулем или отрицательным числом;

2) Какой знак коэффициента а.

Изобразим схематически возможные случаи расположения графика квадратичной

функции в зависимости от а, D.

В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой

системой, а затем ее мысленным образом.

Аналогично можно составить схему решений неравенства вида

Заметим, что для использования графических соображений нет необходимости

изображать параболы, достаточно мысленно представить, как расположена эта

парабола в координатной плоскости.

Пусть, например, требуется решить неравенство

. Вычислив дискриминант D трехчлена

, находим, что D = 9, т.е. D > 0. Значит, парабола

пересекает ось ОХ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, вычисляем

корни трехчлена, они равны 0,5 и 2. Учитывая, что ветви параболы направлены

вверх и что парабола пересекает ось Х в точках 0,5 и 2, изображаем ее

схематически (или мысленно представим). Используя рисунок устанавливаем, что

множество решений неравенства

есть .

Приведем решение одного неравенства, которое развивает у учащихся навыки

работы с квадратичными неравенствами.

Пример.

При каком условии решения неравенства

находятся между корнями квадратного трехчлена

?

Решение.

Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола.

1) если , то ветви параболы направлены вверх.

а. Если , то

парабола имеет с осью ОХ две точки пересечения, значит, решением неравенства

являются значения

, но они не удовлетворяют поставленной задаче.

б. Если , то

парабола не имеет с осью ОХ точек пересечения. Решением неравенства являются

все действительные числа, что опять не удовлетворяет условию.

2) Если , то ветви параболы направлены вниз.

а. Если , то решений нет.

б. Если , то решений нет.

в. Если , то - эти значений удовлетворяют условию задачи.

Значит, при ,

решения неравенства

находятся между корнями квадратного трехчлена

.

Ответ: при , .

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.

Пример.

Для каждого значения а решите неравенство

Решение.

или ;

или .

При При .

Рассмотрим функцию .

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

1) Если , то неравенство .

2) Если и , то

3) если и , то график функции имеет вид

4) Если , то неравенство решений не имеет

Ответ: при и , ;

при и , .

Рассмотрим примеры решений более сложных неравенств.

Пример.

Решение.

1.Построим графики функций и

2. Решением неравенства являются действительные числа х, для которых

график функции

расположен выше графика функции

.

3. Из рассмотрения рисунка следует, что решениями неравенства

являются все числа х из интервала

Ответ: .

Пример.

Найти все значение параметра q, при каждом из которых множество решений

неравенства не

содержит не одного решения неравенства

.

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

1) и 2)

Изобразим на плоскости хОq решение этих систем (рис.2).

Страницы: 1, 2, 3