РУБРИКИ

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Найдем корни соответствующего уравнения Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

Диплом: Функциональный метод решения неравенств , Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Причем Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Значит неравенство равносильно совокупности

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Рассмотрим следующий тип неравенств: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Решение.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Аналогично решается и неравенство вида Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Пример.

Решить неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически

неравенства, которые нельзя решить аналитически.

Пример.

а) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

б) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

а) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

1.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Построим графики функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

2. Найдем точки пересечения графиков функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из

которых график функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

лежит ниже графика Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств

б) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

1.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Построим график функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

2. Найдем точки пересечения графиков функций.

3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из

которых график функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

лежит ниже графика Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Приведем примере решения аналогичного неравенства с дополнительным заданием.

Пример.

Найдите наибольшее целое решение неравенства.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Анализ неравенства показывает, что в левой его чести записана показательная

функция, а в правой – многочлен первой степени. Из этого следует, что решение

можно проводить функционально-графическим методом.

Наличие только одной точки пересечения графиков функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и Диплом: Функциональный метод решения неравенств следует из того,

что первая функция убывает, а вторая возрастает на Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Решение.

Схематично изобразим графики функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Из рисунка видно, что Диплом: Функциональный метод решения неравенств

является корнем уравнения Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, так как Диплом: Функциональный метод решения неравенств . График

показательной функции расположен выше графика линейной функции при Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Наибольшим целым решением неравенства является число –1.

Ответ: –1.

Пример.

При каких значениях а значение выражения Диплом: Функциональный метод решения неравенств

больше значения выражения Диплом: Функциональный метод решения неравенств

при всех допустимых значениях х?

Решение.

1. Перейдем к одинаковому основанию степени в

обоих выражениях:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

2. Введем новую переменную Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Ее наибольшее значение равно нулю, а при стремлении х к 1 эта

переменная стремится к Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. В силу непрерывности функции получаем, что Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

3. Относительно t получаем неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств , Диплом: Функциональный метод решения неравенств или Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

4. Абсцисса вершины параболы положительна, ветви

направлены вверх. Значит, это неравенство верно при всех положительных t

в том и только том случае, когда свободный коэффициент положителен.

Следовательно, Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: (-2; 2).

В следующем примере решение показательного неравенства является составляющей

более сложной задачи, а именно, нахождения области определения

логарифмической функции.

Пример.

Найдите все значения параметра а, при которых в области определения

функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств лежат

числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7.

Решение.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств . При Диплом: Функциональный метод решения неравенств область определения пуста. Рассмотрим два случая.

1) Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Тогда Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Так как Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Значит, Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Но в

этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 2, 5, 7.

Поэтому такие значения а не удовлетворяют условию.

2) Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Тогда Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Так как Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Значит, Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

В этом промежутке лежат числа 20, 50, 70, только если его левый конец меньше 20.

А для того, чтобы в нем не было чисел 2, 5, 7, нужно, чтобы левый конец был не

меньше 7. Получается двойное неравенство на параметр Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Рассмотрим следующий пример. В нем исследуется композиция (результат

последовательного выполнения) трех базовых функций: показательной с

основанием 3, затем с обратнопропорциональной зависимостью и, наконец,

показательной с основанием 2.

Пример.

Найдите множество значений функции

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

Функция определена при Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Рассмотрим случай Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. По свойствам показательной функции с основанием 3, при неограниченном

возрастании х величина Диплом: Функциональный метод решения неравенств

также неограниченно возрастает от нуля к Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Так как числитель дроби Диплом: Функциональный метод решения неравенств

постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает, оставаясь положительными, то

сама дробь убывает от Диплом: Функциональный метод решения неравенств

к нулю, оставаясь положительной. Так как показательная функция с основанием 2

сохраняет характер монотонности, то получаем, что при таком изменении аргумента

х функция у убывает от Диплом: Функциональный метод решения неравенств

до Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Значит, при

положительных х данная функция принимает все значения от 1 до Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Аналогичным образом при убывании отрицательного аргумента х от нуля к Диплом: Функциональный метод решения неравенств

величина Диплом: Функциональный метод решения неравенств убывает от

нуля к –1, а значит, величина Диплом: Функциональный метод решения неравенств

возрастает от Диплом: Функциональный метод решения неравенств к –1,

оставаясь меньше –1. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет

характер монотонности, то при таком изменении аргумента х функция у

монотонно и непрерывно возрастает от 0 к Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Значит, при отрицательных х данная функция принимает все значения от 0

до 0,5. Остается объединить ответы.

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Приведенное решение максимально точно соответствует характеру задания

функции. Уж раз сама исследуемая функция есть результат последовательного

выполнения трех различных элементарных композиций, то и множество ее значений

следует искать последовательно на каждом поле выполняя необходимые

вычисления.

В основу решения некоторых неравенств удается положить следующее простое

наблюдение: если известно что, например, функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств

монотонно возрастает на своей области определения Е и Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, то множеством решений неравенства Диплом: Функциональный метод решения неравенств

является множество Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Докажем это утверждение.

Если Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, то Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то есть в

точке Диплом: Функциональный метод решения неравенств неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств

не выполняется. Если же Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, то Диплом: Функциональный метод решения неравенств . То есть

неравенство выполняется на множестве Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и только на нем. Что и требовалось доказать.

В случае неравенств с показательной функцией рассмотренное утверждение

применяется, например, в следующей ситуации:

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

выполняется одна из двух систем условий:

1) Диплом: Функциональный метод решения неравенств или 2) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение

Приведем неравенство к виду:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Заменив Диплом: Функциональный метод решения неравенств , рассмотрим функцию

Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Тогда Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Кроме того, оба основания

Диплом: Функциональный метод решения неравенств или Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

поэтому функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств

монотонно убывает в первом случае и монотонно возрастает в случае (2), как сумма

двух функций монотонно убывает или монотонно возрастает для Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Согласно доказанному выше утверждению, искомое неравенство сводится теперь к

одному из неравенств Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Пример.

Числа а и b являются длинами катетов, а число с – длина

гипотенузы прямоугольного треугольника. Определить знак числа Диплом: Функциональный метод решения неравенств

для всех значений переменной х.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. По теореме Пифагора, выполняется система условий:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Значит, функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств убывает, и Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Тогда Диплом: Функциональный метод решения неравенств при Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств при Диплом: Функциональный метод решения неравенств , чему соответствует следующий

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Таким образом, в этом параграфе рассматривались различные примеры решений

показательных неравенств с использованием свойств показательной функции.

§5 Логарифмические неравенства.

Пусть а – фиксированное число такое, что Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Рассмотрим неравенства

Диплом: Функциональный метод решения неравенств (1)

Диплом: Функциональный метод решения неравенств (2)

Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось.

Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и

больших единицы, то рассмотрим случаи Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Схема сравнения логарифмических неравенств.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Пример.

Найти все значения а, при каждом из которых неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств выполняется для всех х.

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных

функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область

определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в

ходе которых область определения может сужаться или расширяться.

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Решение.

Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области

определения.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.

При Диплом: Функциональный метод решения неравенств неравенство принимает вид Диплом: Функциональный метод решения неравенств - истинно.

При Диплом: Функциональный метод решения неравенств неравенство принимает вид Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств - ложно.

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Пример.

Какое из двух чисел больше Диплом: Функциональный метод решения неравенств или Диплом: Функциональный метод решения неравенств ?

Решение.

Упростим запись каждого из двух чисел:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

Так как Диплом: Функциональный метод решения неравенств , и функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств

монотонно возрастает на Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, получим, что первое число меньше 1, а второе число больше 1.

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств < Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Рассмотрим неравенства вида

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

Согласно схеме (I), заменим данное неравенство равносильной совокупностью:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств , Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

Функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств монотонно

возрастает для Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

как сумма двух монотонно возрастающих функций, Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Поэтому Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств

При решении неравенства воспользовались следующим утверждением:

Пусть функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств

монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом

промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Следствие:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более

сложных задач. Например, для нахождения области определения функции или

множества значений данной функции.

Для нахождения области определения логарифмической функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

необходимо найти множество значений Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, при которых выполняется условие Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на

котором функция определена», «при каком целом значении х функция

определена» сводится к двум этапам:

I этап – находят все значения х, при которых Диплом: Функциональный метод решения неравенств ;

II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно

дополнительному требованию.

Пример.

Укажите длину промежутка области определения функции

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Решение.

1) Найдем значения х, при которых Диплом: Функциональный метод решения неравенств , Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

2) Найдем область определения функции

Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Далее по схеме 1, так как основание логарифма Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то

Диплом: Функциональный метод решения неравенств Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

3) Объединяя полученные промежутки, получаем Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1.

Ответ: 1.

При нахождении области значений функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

необходимо прежде всего найти множество значений функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, а затем на основании свойства логарифмической функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

указать область значений Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из

трех этапов:

I этап – находим область значений Диплом: Функциональный метод решения неравенств ;

II этап – находим область значений Диплом: Функциональный метод решения неравенств ;

III этап – выполняем дополнительные требования.

Пример.

Укажите наименьшее значение функции

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Решение.

1) Определим множество значений функции: Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Выделив полный квадрат, получим

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Так как Диплом: Функциональный метод решения неравенств для всех действительных х, то Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

2) Таким образом, поскольку Диплом: Функциональный метод решения неравенств , а Диплом: Функциональный метод решения неравенств - возрастающая функция, то

Диплом: Функциональный метод решения неравенств ,

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

3) Область значений функции представляет собой луч Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

4) Наименьшее значение на этом луче равно 3.

Ответ: 3.

Покажем на примерах применение свойств логарифмической функции к решению

неравенств.

Пример.

Решить Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Решение.

Для наглядности решения построим график функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

t

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

1248

y

-2-10123

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Далее, учитывая область определения функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств , получим:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Изменяя знак неравенства, проследим за изменением получаемого результата.

Пример.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств Диплом: Функциональный метод решения неравенств неравенство не имеет решений.

Логарифмические неравенства в общем виде решаются по схеме

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

При замене на нестрогое логарифмическое неравенство нужно в совокупности

систем первые неравенства менять на нестрогие, а остальные оставлять

строгими.

Если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели, то можно

воспользоваться следующим утверждением:

Чтобы доказать, что на подмножестве Диплом: Функциональный метод решения неравенств

своей области определения неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств

не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для

всех Диплом: Функциональный метод решения неравенств справедлива

система неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств (*)

Наоборот, если на множестве Е выполняется система неравенств (*), то все

точки этого множества удовлетворяют неравенству Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Поясним смысл названия «отделяющая константа А». Прямая Диплом: Функциональный метод решения неравенств

разделяет коэффициентную плоскость на две непересекающиеся полуплоскости.

В приведенной схеме полуплоскости Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и Диплом: Функциональный метод решения неравенств , и система

неравенств (*) означает, что расположенные над точками множества Е

участки графиков функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и Диплом: Функциональный метод решения неравенств находятся в этих

двух различных полуплоскостях, что позволяет сразу сделать вывод о взаимном

расположении точек графиков друг над другом, то есть ответить на вопрос задачи.

В этом смысле число А «отделяет» графики функций, то есть является

«отделяющей» константой.

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Решение.

Найдем область определения неравенства из системы условий.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Если Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то неравенство можно записать в виде:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств монотонно

возрастает при всех Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств

монотонно возрастает на множестве Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

1) Для Диплом: Функциональный метод решения неравенств имеем:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Поэтому при всех Диплом: Функциональный метод решения неравенств

верно Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то есть Диплом: Функциональный метод решения неравенств

- отделяющая константа, и неравенство на этом интервале не имеет решений.

2) Для Диплом: Функциональный метод решения неравенств выполняются неравенства:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Поэтому весь интервал Диплом: Функциональный метод решения неравенств

является решением неравенства, где Диплом: Функциональный метод решения неравенств

- отделяющая константа.

Если Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то неравенство перепишем в виде Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Очевидно, что при всех Диплом: Функциональный метод решения неравенств Диплом: Функциональный метод решения неравенств всегда.

Отсюда ясно:

3) Если Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то Диплом: Функциональный метод решения неравенств и исходное неравенство не выполняется (Диплом: Функциональный метод решения неравенств ).

4) Если Диплом: Функциональный метод решения неравенств , то

одной константой обойтись не удается. Поэтому представим (0; 2) в виде

объединения промежутков Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

4а) Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Исходное неравенство не выполняется (Диплом: Функциональный метод решения неравенств ).

4б) Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Докажем, что Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Поэтому исходное неравенство не имеет решений для Диплом: Функциональный метод решения неравенств , где Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых

задаются неравенствами с использованием логарифмических функций.

Пример.

Изобразить на плоскости (х; у) множество точек, координаты которых

удовлетворяют неравенству Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2).

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Пример.

При каких значениях а сумма Диплом: Функциональный метод решения неравенств и Диплом: Функциональный метод решения неравенств будет больше единицы при всех х?

Решение.

1) Выделим целые части в выражениях, стоящих под знаком логарифма:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

2) Оба логарифмических выражения определены при всех х. Их сумма равна

Диплом: Функциональный метод решения неравенств , где Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Функция Диплом: Функциональный метод решения неравенств четная,

убывает, стремясь к нулю, при неограниченном возрастании Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, а ее наибольшее значение равно 1. Значит, Диплом: Функциональный метод решения неравенств

3) При Диплом: Функциональный метод решения неравенств

логарифмическая функция с основанием а возрастает. Значит, получаем Диплом: Функциональный метод решения неравенств

. Парабола Диплом: Функциональный метод решения неравенств

симметрична относительно прямой Диплом: Функциональный метод решения неравенств

и возрастает на Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Значит, для того, чтобы функция принимала положительные значения на этом

промежутке, нужно, чтобы было неотрицательное значение в левом конные

промежутка Диплом: Функциональный метод решения неравенств , т.е.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

4) При Диплом: Функциональный метод решения неравенств получаем

неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств при

всех Диплом: Функциональный метод решения неравенств . Для того,

чтобы функция принимала отрицательные значения на этом промежутке данной

квадратичной функции, нужна ее отрицательность в правом конце Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, т.е. Диплом: Функциональный метод решения неравенств Диплом: Функциональный метод решения неравенств

; Диплом: Функциональный метод решения неравенств , что противоречит

неравенству Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Таким образом в этом параграфе были рассмотрены различные примеры на решение

логарифмических неравенств на основе свойств логарифмической функции.

§6 Некоторые лжепреобразования.

Для того чтобы научиться решать неравенства, следует хорошо разбираться во

всех вопросах, связанных с решением уравнений. Логическая сторона решения

неравенств более содержательна по сравнению с уравнениями. Отметим, что

многие преобразования, которые лишь расширяют область допустимых значений

неравенства и приобретению посторонних корней (например, отбрасывание

знаменателя, возведение в квадрат и т.п.) могут повлечь за собой потерю

решения, а то и вообще принципиально неверный ответ.

Пример.

Решить неравенство:

а) Диплом: Функциональный метод решения неравенств ; б) Диплом: Функциональный метод решения неравенств

в) Диплом: Функциональный метод решения неравенств ; г) Диплом: Функциональный метод решения неравенств ;

д) Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Такие простые неравенства, часто возникающие в процессе решения более

сложных, доставляют неприятности тем учащимся, которые не очень четко

понимают смысл знаков неравенства и существа, стоящие перед ними задачи.

Для того чтобы избежать недоразумений, достаточно лишь ясно понимать, что

нестрогое неравенство справедливо как в случае соответствующего строго

неравенства, так и в случае равенства, ни никак не в случае одновременного их

выполнения, а также не забывать отбрасывать те значения неизвестной, которые

не входят в ОДЗ.

Ответ: а) Диплом: Функциональный метод решения неравенств ; б) Диплом: Функциональный метод решения неравенств г) Диплом: Функциональный метод решения неравенств д) Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Ключевой момент в решении неравенства – преобразование неравенств к виду, в

котором левая часть представляет собой произведение каких-либо выражений Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, а правая равно нулю.

Однако, как показывает опыт, учащиеся часто путаются при разложении

неравенств на множители, выписывая либо не все возможные, либо вовсе не те

случаи и получая в результате неверный ответ.

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Приведем наиболее типичное ошибочное рассуждение: «Поскольку квадратный корень

всегда неотрицателен, то исходное неравенство равносильно неравенству Диплом: Функциональный метод решения неравенств

» Действительно, выражение Диплом: Функциональный метод решения неравенств

не может быть отрицательным ни при каком значении х. Но если оно равно

нулю, то совершенно безразлично, чему при этом равно выражение Диплом: Функциональный метод решения неравенств

- неравенство то будет справедливо.

Решение.

Неравенство равносильно совокупности систем:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

Помимо описанных лжепреобразований часто допускаются ошибки, так как не

учитываются свойства функции из-за обыкновенной невнимательности.

Пример.

Решить неравенство:

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Многие сочил возможным обратить дробь в обеих частях неравенства, поменяв его

знак и получив неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

При этом возникает сомнение в правомерности такого заключения в случае, когда

левая часть неравенства отрицательна. Благодаря такому преобразованию были

потеряны два интервала решений, при которых

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Ответ: Диплом: Функциональный метод решения неравенств .

То есть при решении неравенств учащиеся забывают о свойствах функций,

входящих в состав неравенство, что приводит к неверному решению.

Известная осторожность нужна при решении неравенств, содержащих радикалы,

которые обычно решаются с помощью возведения обеих частей в квадрат. И если для

уравнения такое преобразование никогда не приводит к потере корней, то для

неравенств аналогичный вывод сделать нельзя: при возведении в квадрат, к

примеру, обеих частей неравенства Диплом: Функциональный метод решения неравенств

получается неравенство Диплом: Функциональный метод решения неравенств

, которое не содержит среди своих решений ни одного числа из интервала (-1; 1),

в то время, как исходному неравенству такие числа удовлетворяют. В связи с этим

особое значение приобретает следующее основное правило: возводить в квадрат

запрещается при тех значениях неизвестной, при которых хотя бы одни из частей

неравенства отрицательна.

Пример.

Решить неравенство

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Приведем пример неверного рассуждения:

«Применение правила возведения в квадрат облегчается в данном случае тем

обстоятельством, что левая часть неравенства неотрицательна, ибо она больше

правой, которая тоже неотрицательна. Поэтому данное неравенство можно смело

возводить в квадрат». Здесь мы видим попытку подменить исследование знаков

левой и правой частей неравенства при различных значениях неизвестной

величины исследованием знака самого неравенства. Чтобы спасти такое

утверждение, потребовалась бы проверка всех решений, которых бесконечно

много.

Решение.

Диплом: Функциональный метод решения неравенств

Подчеркнем, что при Диплом: Функциональный метод решения неравенств

решений нет в силу неотрицательности иррациональной функции.

То есть если относиться к решению не творчески, а чисто механически, без

выделения свойств функций, то существует большая вероятность ошибок.

Глава III. Заключение.

Функциональный метод решения неравенств позволяет сделать более осмысленным

их изучение.

Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при

изучении неравенств.

В курсе математики в школе должна проводиться установка на то, что требования

решить неравенство эквивалентно требованию найти множество значений аргумента,

при которых значение функций Диплом: Функциональный метод решения неравенств

больше или меньше соответствующих значений функции Диплом: Функциональный метод решения неравенств

.

От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных

деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные

области изменения величин, выяснить характер их зависимости.

Решение таких задач воспитывает:

- умение схематизировать;

- развивает интуицию;

- прививает навыки дедуктивного мышления;

- развивает творческие исследовательские способности.

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую

роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое

значение.

Эта работа может быть полезна учащимся школ, учителям для подготовки к сдаче

единого государственного экзамена.

Литература.

1. М.А.Алилов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала

анализа» Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение» 2002

г.

2. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин «Лекции и

задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г.

3. В.В.Вавилов, И.И.Мельников и др. «Задачи по

математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.

4. Я.И.Груденов «Совершенствование методики работы

учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение» 1988 г.

5. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные

материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.

6. Л.О.Денищев, Е.М.Бойченко и др. «Готовимся к

единому государственному экзамену» Математика Изд. «Дрофа» 2004 г.

7. Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9» Учебное

пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики

8. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения

задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.

9. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика»

Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г.

10. Под ред. А.Н.Комигорова «Алгебра и начала анализа 10-

11» М.: «Просвещение» 1990 г.

11. Т.М.Королева, Е.Г. Маркорян, Ю.М.Нейман «Пособие по

математики в помощь участникам компьютерного тестирования» М.: 2002 г.

12. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др. «Пособие для

подготовки к ЕГЭ по математике» М.: 2004 г.

13. Ф.Ф.Лысенко, В.Ю.Калашников «Подготовка к ЕГЭ по

математике» Ростов-на-Дону 2002 г.

14. Мельников М.М., Сергеев И.Н. «Как решать задачи по

математике на вступительных экзаменах» М.: 1994 г.

15. Под ред. В.И.Мишина «Методика преподавания математики

в средней школе» Частная методика М.: «Просвещение» 1987 г.

16. Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание

алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.

17. И.И.Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по

математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г.

18. Е.А.Семенко «Обобщающее повторение в курсе алгебры

основной школы» Кубанский государственный университет. Краснодар 2003 г.

19. М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко «Лекции

по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г.

20. М.И.Сканави «Сборник задач по математике для

поступающих во ВТУЗы». Ташкент «Учитавчи» 1992 г.

21. Под ред. Теляковского С.Л. «Алгебра» учебник для 9

кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение» 1995 г.

22. Л.М.Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать

задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение»

1987 г.

Страницы: 1, 2, 3


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.