 |
РУБРИКИ |
Диплом: Функциональный метод решения неравенств |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Диплом: Функциональный метод решения неравенствНайдем корни соответствующего уравнения Причем Значит неравенство равносильно совокупности Ответ: Рассмотрим следующий тип неравенств: Решение. Аналогично решается и неравенство вида Пример. Решить неравенство Решение. По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем: Ответ: Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически неравенства, которые нельзя решить аналитически. Пример. а) б) Решение. а) 1. Построим графики функций 2. Найдем точки пересечения графиков функций 3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика Ответ: б) 1. Построим график функций 2. Найдем точки пересечения графиков функций. 3. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика Ответ: Приведем примере решения аналогичного неравенства с дополнительным заданием. Пример. Найдите наибольшее целое решение неравенства. Анализ неравенства показывает, что в левой его чести записана показательная функция, а в правой – многочлен первой степени. Из этого следует, что решение можно проводить функционально-графическим методом. Наличие только одной точки пересечения графиков функций и что первая функция убывает, а вторая возрастает на . Решение. Схематично изобразим графики функций Из рисунка видно, что является корнем уравнения , так как показательной функции расположен выше графика линейной функции при . Наибольшим целым решением неравенства является число –1. Ответ: –1. Пример. При каких значениях а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х? Решение. 1. Перейдем к одинаковому основанию степени в обоих выражениях: 2. Введем новую переменную . Ее наибольшее значение равно нулю, а при стремлении х к 1 эта переменная стремится к . В силу непрерывности функции получаем, что . 3. Относительно t получаем неравенство 4. Абсцисса вершины параболы положительна, ветви направлены вверх. Значит, это неравенство верно при всех положительных t в том и только том случае, когда свободный коэффициент положителен. Следовательно, Ответ: (-2; 2). В следующем примере решение показательного неравенства является составляющей более сложной задачи, а именно, нахождения области определения логарифмической функции. Пример. Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции числа 20, 50, 70, но не лежат числа 2, 5, 7. Решение. 1) Так как . Значит, этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 2, 5, 7. Поэтому такие значения а не удовлетворяют условию. 2) В этом промежутке лежат числа 20, 50, 70, только если его левый конец меньше 20. А для того, чтобы в нем не было чисел 2, 5, 7, нужно, чтобы левый конец был не меньше 7. Получается двойное неравенство на параметр . . Ответ: Рассмотрим следующий пример. В нем исследуется композиция (результат последовательного выполнения) трех базовых функций: показательной с основанием 3, затем с обратнопропорциональной зависимостью и, наконец, показательной с основанием 2. Пример. Найдите множество значений функции Решение. Функция определена при . Рассмотрим случай . По свойствам показательной функции с основанием 3, при неограниченном возрастании х величина также неограниченно возрастает от нуля к . Так как числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает, оставаясь положительными, то сама дробь убывает от к нулю, оставаясь положительной. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то получаем, что при таком изменении аргумента х функция у убывает от до положительных х данная функция принимает все значения от 1 до . Аналогичным образом при убывании отрицательного аргумента х от нуля к величина нуля к –1, а значит, величина возрастает от оставаясь меньше –1. Так как показательная функция с основанием 2 сохраняет характер монотонности, то при таком изменении аргумента х функция у монотонно и непрерывно возрастает от 0 к . Значит, при отрицательных х данная функция принимает все значения от 0 до 0,5. Остается объединить ответы. Ответ: Приведенное решение максимально точно соответствует характеру задания функции. Уж раз сама исследуемая функция есть результат последовательного выполнения трех различных элементарных композиций, то и множество ее значений следует искать последовательно на каждом поле выполняя необходимые вычисления. В основу решения некоторых неравенств удается положить следующее простое наблюдение: если известно что, например, функция монотонно возрастает на своей области определения Е и , то множеством решений неравенства является множество Докажем это утверждение. Если , то точке не выполняется. Если же , то неравенство выполняется на множестве и только на нем. Что и требовалось доказать. В случае неравенств с показательной функцией рассмотренное утверждение применяется, например, в следующей ситуации: Решить неравенство выполняется одна из двух систем условий: 1) Решение Приведем неравенство к виду: Заменив Кроме того, оба основания поэтому функция монотонно убывает в первом случае и монотонно возрастает в случае (2), как сумма двух функций монотонно убывает или монотонно возрастает для . Согласно доказанному выше утверждению, искомое неравенство сводится теперь к одному из неравенств . Пример. Числа а и b являются длинами катетов, а число с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Определить знак числа для всех значений переменной х. Решение. Задача сводится к решению неравенства . По теореме Пифагора, выполняется система условий: Значит, функция Ответ: Таким образом, в этом параграфе рассматривались различные примеры решений показательных неравенств с использованием свойств показательной функции. §5 Логарифмические неравенства. Пусть а – фиксированное число такое, что Рассмотрим неравенства Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось. Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и больших единицы, то рассмотрим случаи и Схема сравнения логарифмических неравенств.
Пример. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как Ответ: При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться. Пример. Решить неравенство Решение. Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения. Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек. Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству. При При Ответ: Пример. Какое из двух чисел больше Решение. Упростим запись каждого из двух чисел: . Так как монотонно возрастает на , получим, что первое число меньше 1, а второе число больше 1. Ответ: Рассмотрим неравенства вида Пример. Решить неравенство Решение. Согласно схеме (I), заменим данное неравенство равносильной совокупностью: Ответ: Пример. Решить неравенство Решение. Функция возрастает для как сумма двух монотонно возрастающих функций, . Поэтому Ответ: При решении неравенства воспользовались следующим утверждением: Пусть функция монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид: Следствие: Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более сложных задач. Например, для нахождения области определения функции или множества значений данной функции. Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо найти множество значений , при которых выполняется условие . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам: I этап – находят все значения х, при которых II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию. Пример. Укажите длину промежутка области определения функции Решение. 1) Найдем значения х, при которых 2) Найдем область определения функции Далее по схеме 1, так как основание логарифма 3) Объединяя полученные промежутки, получаем Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1. Ответ: 1. При нахождении области значений функции необходимо прежде всего найти множество значений функции , а затем на основании свойства логарифмической функции указать область значений . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов: I этап – находим область значений II этап – находим область значений III этап – выполняем дополнительные требования. Пример. Укажите наименьшее значение функции Решение. 1) Определим множество значений функции: Так как 2) Таким образом, поскольку 3) Область значений функции представляет собой луч 4) Наименьшее значение на этом луче равно 3. Ответ: 3. Покажем на примерах применение свойств логарифмической функции к решению неравенств. Пример. Решить Решение. Для наглядности решения построим график функции
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при Далее, учитывая область определения функции Ответ: Изменяя знак неравенства, проследим за изменением получаемого результата. Пример. Логарифмические неравенства в общем виде решаются по схеме При замене на нестрогое логарифмическое неравенство нужно в совокупности систем первые неравенства менять на нестрогие, а остальные оставлять строгими. Если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели, то можно воспользоваться следующим утверждением: Чтобы доказать, что на подмножестве своей области определения неравенство не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для всех система неравенств Наоборот, если на множестве Е выполняется система неравенств (*), то все точки этого множества удовлетворяют неравенству . Поясним смысл названия «отделяющая константа А». Прямая разделяет коэффициентную плоскость на две непересекающиеся полуплоскости. В приведенной схеме полуплоскости и неравенств (*) означает, что расположенные над точками множества Е участки графиков функций и двух различных полуплоскостях, что позволяет сразу сделать вывод о взаимном расположении точек графиков друг над другом, то есть ответить на вопрос задачи. В этом смысле число А «отделяет» графики функций, то есть является «отделяющей» константой. Пример. Решить неравенство Решение. Найдем область определения неравенства из системы условий. Если . Функция возрастает при всех , функция монотонно возрастает на множестве , . 1) Для Поэтому при всех верно - отделяющая константа, и неравенство на этом интервале не имеет решений. 2) Для Поэтому весь интервал является решением неравенства, где - отделяющая константа. Если Очевидно, что при всех Отсюда ясно: 3) Если 4) Если одной константой обойтись не удается. Поэтому представим (0; 2) в виде объединения промежутков . 4а) 4б) Докажем, что Ответ: Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых задаются неравенствами с использованием логарифмических функций. Пример. Изобразить на плоскости (х; у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству . Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2). Ответ: Пример. При каких значениях а сумма Решение. 1) Выделим целые части в выражениях, стоящих под знаком логарифма: . 2) Оба логарифмических выражения определены при всех х. Их сумма равна Функция убывает, стремясь к нулю, при неограниченном возрастании , а ее наибольшее значение равно 1. Значит, 3) При логарифмическая функция с основанием а возрастает. Значит, получаем . Парабола симметрична относительно прямой и возрастает на Значит, для того, чтобы функция принимала положительные значения на этом промежутке, нужно, чтобы было неотрицательное значение в левом конные промежутка 4) При неравенство всех чтобы функция принимала отрицательные значения на этом промежутке данной квадратичной функции, нужна ее отрицательность в правом конце , т.е. ; неравенству Ответ: Таким образом в этом параграфе были рассмотрены различные примеры на решение логарифмических неравенств на основе свойств логарифмической функции. §6 Некоторые лжепреобразования. Для того чтобы научиться решать неравенства, следует хорошо разбираться во всех вопросах, связанных с решением уравнений. Логическая сторона решения неравенств более содержательна по сравнению с уравнениями. Отметим, что многие преобразования, которые лишь расширяют область допустимых значений неравенства и приобретению посторонних корней (например, отбрасывание знаменателя, возведение в квадрат и т.п.) могут повлечь за собой потерю решения, а то и вообще принципиально неверный ответ. Пример. Решить неравенство: а) в) д) Такие простые неравенства, часто возникающие в процессе решения более сложных, доставляют неприятности тем учащимся, которые не очень четко понимают смысл знаков неравенства и существа, стоящие перед ними задачи. Для того чтобы избежать недоразумений, достаточно лишь ясно понимать, что нестрогое неравенство справедливо как в случае соответствующего строго неравенства, так и в случае равенства, ни никак не в случае одновременного их выполнения, а также не забывать отбрасывать те значения неизвестной, которые не входят в ОДЗ. Ответ: а) Ключевой момент в решении неравенства – преобразование неравенств к виду, в котором левая часть представляет собой произведение каких-либо выражений , а правая равно нулю. Однако, как показывает опыт, учащиеся часто путаются при разложении неравенств на множители, выписывая либо не все возможные, либо вовсе не те случаи и получая в результате неверный ответ. Пример. Решить неравенство Приведем наиболее типичное ошибочное рассуждение: «Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, то исходное неравенство равносильно неравенству » Действительно, выражение не может быть отрицательным ни при каком значении х. Но если оно равно нулю, то совершенно безразлично, чему при этом равно выражение - неравенство то будет справедливо. Решение. Неравенство равносильно совокупности систем: Ответ: Помимо описанных лжепреобразований часто допускаются ошибки, так как не учитываются свойства функции из-за обыкновенной невнимательности. Пример. Решить неравенство: Многие сочил возможным обратить дробь в обеих частях неравенства, поменяв его знак и получив неравенство При этом возникает сомнение в правомерности такого заключения в случае, когда левая часть неравенства отрицательна. Благодаря такому преобразованию были потеряны два интервала решений, при которых Ответ: То есть при решении неравенств учащиеся забывают о свойствах функций, входящих в состав неравенство, что приводит к неверному решению. Известная осторожность нужна при решении неравенств, содержащих радикалы, которые обычно решаются с помощью возведения обеих частей в квадрат. И если для уравнения такое преобразование никогда не приводит к потере корней, то для неравенств аналогичный вывод сделать нельзя: при возведении в квадрат, к примеру, обеих частей неравенства получается неравенство , которое не содержит среди своих решений ни одного числа из интервала (-1; 1), в то время, как исходному неравенству такие числа удовлетворяют. В связи с этим особое значение приобретает следующее основное правило: возводить в квадрат запрещается при тех значениях неизвестной, при которых хотя бы одни из частей неравенства отрицательна. Пример. Решить неравенство Приведем пример неверного рассуждения: «Применение правила возведения в квадрат облегчается в данном случае тем обстоятельством, что левая часть неравенства неотрицательна, ибо она больше правой, которая тоже неотрицательна. Поэтому данное неравенство можно смело возводить в квадрат». Здесь мы видим попытку подменить исследование знаков левой и правой частей неравенства при различных значениях неизвестной величины исследованием знака самого неравенства. Чтобы спасти такое утверждение, потребовалась бы проверка всех решений, которых бесконечно много. Решение. Подчеркнем, что при решений нет в силу неотрицательности иррациональной функции. То есть если относиться к решению не творчески, а чисто механически, без выделения свойств функций, то существует большая вероятность ошибок. Глава III. Заключение. Функциональный метод решения неравенств позволяет сделать более осмысленным их изучение. Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при изучении неравенств. В курсе математики в школе должна проводиться установка на то, что требования решить неравенство эквивалентно требованию найти множество значений аргумента, при которых значение функций больше или меньше соответствующих значений функции . От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает: - умение схематизировать; - развивает интуицию; - прививает навыки дедуктивного мышления; - развивает творческие исследовательские способности. Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение. Эта работа может быть полезна учащимся школ, учителям для подготовки к сдаче единого государственного экзамена. Литература. 1. М.А.Алилов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа» Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение» 2002 г. 2. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г. 3. В.В.Вавилов, И.И.Мельников и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г. 4. Я.И.Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение» 1988 г. 5. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г. 6. Л.О.Денищев, Е.М.Бойченко и др. «Готовимся к единому государственному экзамену» Математика Изд. «Дрофа» 2004 г. 7. Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9» Учебное пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики 8. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г. 9. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г. 10. Под ред. А.Н.Комигорова «Алгебра и начала анализа 10- 11» М.: «Просвещение» 1990 г. 11. Т.М.Королева, Е.Г. Маркорян, Ю.М.Нейман «Пособие по математики в помощь участникам компьютерного тестирования» М.: 2002 г. 12. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике» М.: 2004 г. 13. Ф.Ф.Лысенко, В.Ю.Калашников «Подготовка к ЕГЭ по математике» Ростов-на-Дону 2002 г. 14. Мельников М.М., Сергеев И.Н. «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах» М.: 1994 г. 15. Под ред. В.И.Мишина «Методика преподавания математики в средней школе» Частная методика М.: «Просвещение» 1987 г. 16. Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г. 17. И.И.Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г. 18. Е.А.Семенко «Обобщающее повторение в курсе алгебры основной школы» Кубанский государственный университет. Краснодар 2003 г. 19. М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко «Лекции по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г. 20. М.И.Сканави «Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы». Ташкент «Учитавчи» 1992 г. 21. Под ред. Теляковского С.Л. «Алгебра» учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение» 1995 г. 22. Л.М.Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение» 1987 г. |
|
,
, 
.
.
.
.
и 
.
.
.
.
.
.
. 
следует из того,
и 
.
. График
, 
или 
.
лежат
. При 
область определения пуста. Рассмотрим два случая.
. Тогда 
.
, то 
. Но в
. Тогда 
. Так как 
, то 
. Значит, 
.
.
. Значит, при
убывает от
к –1,
.
.
и 
, то есть в
неравенство 
. То есть
, 
или 2) 
, рассмотрим функцию
. Тогда 
.
или 
,
убывает, и 
. Тогда 
при 
и 
при 
, чему соответствует следующий
и 
.
(1)
(2)
.
выполняется для всех х.
.
.
неравенство принимает вид 
- истинно.
неравенство принимает вид 
- ложно.
.
или 
?
,
, и функция 
< 
.
, 
.
монотонно
,
.
;
. 
, 
, 
. 
, то
.
;
;
. Выделив полный квадрат, получим
. 
для всех действительных х, то 
.
, а 
- возрастающая функция, то
, 
. 
.
.
.
.
, получим:
.
неравенство не имеет решений.
справедлива
(*)
, и система
находятся в этих
. 
. 
, то неравенство можно записать в виде:
монотонно
и 
имеем:
и 
.
, то есть 
выполняются неравенства:
и 
.
, то неравенство перепишем в виде 
.
всегда.
, то 
и исходное неравенство не выполняется (
).
, то
и 
. Исходное неравенство не выполняется (
).
и 
.
. Поэтому исходное неравенство не имеет решений для 
, где 
.
.
. 
и 
будет больше единицы при всех х?
, где 
.
четная,
.
, т.е.
получаем
при
. Для того,
, что противоречит
.
.
; б) 
; г) 
;
.
; б) 
г) 
д) 
.
.
.
.
© 2010 |
|