РУБРИКИ

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Прямоугольную таблицу из чисел,

содержащую произвольное число т строк и произвольное число и столбцов, называют

матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные

черточки, либо круглые скобки. Например:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений 1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

-6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется

квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.1)

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,

равное Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

- Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Итак, по определению

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.2)

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют

элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго

порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или

соответственно его столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из

пропорций Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

эквивалентна равенству Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и

отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.3)

(коэффициенты Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений называется

решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений в данную систему

обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, а второе — на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и

затем складывая полученные при этом равенства, получим

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.4)

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений соответственно получим:

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.5)

Введем следующие обозначения:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений . (3.6)

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка

уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть

определителем этой системы. Заметим, что определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений получаются из

определителя системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными

членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,

называемые формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений / Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.8)

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают

единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)

является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в

случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,

пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 два числа Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в

уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю

самому расписать выражения для определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя

бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , отличен от

нуля; б) оба определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю. (если

определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и

один из двух определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю, то и

другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,

например Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0 Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, т.е. Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда из этих пропорций получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

/Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

/Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , т. е. Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.

система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система

(3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В

самом деле, из равенств Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

=Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы

(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с

двумя неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.9)

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от

нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)

через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в

случае, если хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от

нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

=Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0). В последнем

случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно

неизвестное задавать произвольно.

Замечание. В случае, когда свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю,

линейная система (3.3) называется однородной. Отметим, что однородная

система всегда имеет так называемое тривиальное решение: Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0 (эти два

числа обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку

для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в

том случае, когда определитель ее равен нулю.

1.3. Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.10)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.11)

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (3.10),

называется число, равное:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Итак, по определению

(3.12)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (3.10) будем

называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся

называть диагональ, образованную элементами Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, главной, а диагональ, образованную элементами Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

побочной.

Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя

(3.11), укажем следующее правило, не требующее большого напряжения внимания и

памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем

справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным

переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение

(3.11) со знаком «плюс»; пунктирной же чертой соединены три другие тройки

членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие

трем слагаемым, входящим в выражение (3.11) со знаком «минус».

1.4. Свойства определителей

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы

этого определителя поменять ролями, т.е.

(3.13)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие

в левой и правой частях (3.13), по указанному в разд. 1.3 правилу и убедиться

в равенстве полученных при этом членов.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому

все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для

столбцов, а доказывать — или только для строк, или только для столбцов.

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя

равносильна умножению его на число -1.

Доказательство также получается из правила, указанного в предыдущем разделе.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых

столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны,

определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 он изменит знак на

противоположный. Таким образом, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , т.е. 2Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0 или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя на число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равносильно умножению определителя на это число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или

некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя.

Страницы: 1, 2, 3


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.