РУБРИКИ

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.19) соответственно на алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, элементов первого столбца определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы, и после этого сложим полученные при этом уравнения. В результате

получим:

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =

(3.20)

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на

соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца

равна определителю (нулю) (см. свойство 9), получим:

(3.21)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

(3.22)

Кроме того, посредством разложения определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

по элементам первого столбца получается формула:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в следующем (не

содержащем неизвестных Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ) виде:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

(3.23)

Таким образом, мы установили, что система уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

является следствием исходной системы (3.19).

В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:

1) когда определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от нуля,

2) когда этот определитель равен нулю.

(3.24)

Итак, пусть Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые

формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений / Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и потому

доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо система (3.23)

является следствием системы (3.19), и всякое решение системы (3.19) обязано

быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

(3.24).

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в

исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения, определяемые формулами

Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три уравнения (3.19) обращаются

при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (3.19)

обращается в тождество при подстановке значений х, у и z, определяемых

формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, определяемые формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A,, А2 и Л3, получим, что:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а

круглая скобка равна определителю Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Таким образом, мы получим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, и обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений

(3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение

этой системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

(3.25)

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения

неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим

однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0

Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы

(3.26)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих

уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25) является

следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя

неизвестными Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, естественно,

имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать

произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

(3.27)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений 0

Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой системы,

определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

(3.28)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Далее удобно использовать алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

элементов третьей строки определителя:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и миноров

можно записать

(3.29)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

(3.30)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех

неизвестных х, у, и z, положим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(отметим, что в силу (3.27) определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые значения, то и новая

переменная t может принимать любые значения.

(3.31)

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от

нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(3.32)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х

= 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, это тривиальное решение является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равен нулю, однородная система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.

Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие коэффициенты всех

трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения

(3.32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, как уже

отмечалось в разд. 2.2, имеет бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)

отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в

нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен

от нуля определитель (3.27). Но тогда, как установлено в разд. 2.2, система

первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами (3.31) (при любом t).

Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при любом t,

обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в левую часть

третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами (3.31), получим

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно

определителю Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.32). Но определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

по условию равен нулю, и поэтому при любом t мы получим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А. равным

нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор

(3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при произвольно взятом t.

Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система

(3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда

определитель ее равен нулю.

2.4. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

с определителем, равным нулю.

Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (3.19) с

определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю. Могут представиться два случая: а) хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

- отличен от нуля; б) все три определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю.

В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.23), т. е.

система (3.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная

система (3.19) (следствием которой является система (3.23)).

Переходим к рассмотрению случая б), когда все четыре определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю. Начнем

с примера, показывающего, что и в этом случае система может не иметь ни одного

решения. Рассмотрим систему:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , а отсюда,

умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее, очевидно, что все

четыре определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю.

Действительно, определитель системы

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

имеет три одинаковых столбца, определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало

быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители

равны нулю.

Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество

различных решений.

Предположим, что указанная система имеет решение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда справедливы тождества

(3.32)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Вычитая почленно из уравнений (3.19) тождества (3.34), получим систему уравнений

(3.35)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

эквивалентную системе (3.19). Но система (3.35) является однородной

системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю. Согласно разд. 2.3 последняя система (а стало быть, и система

(3.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен

от нуля минор (3.27), мы с помощью формул (3.31) получим следующее бесконечное

множество решений системы (3.19):

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(t принимает любые значения).

Сформулированное утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение:

если Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, то неоднородная система уравнений (3.19) либо совсем не имеет решений,

либо имеет их бесконечное множество.

3. Понятие об определителях любого порядка и о линейных системах с

любым числом неизвестных

Установленное нами свойство разложения определителя третьего порядка до

элементам любой (например, первой) строки может быть положено в основу

последовательного введения по индукции определителя четвертого, пятого и всех

последующих порядков.

Предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка (n-1), и

рассмотрим произвольную квадратную матрицу состоящую из Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

элементов

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Назовем минором любого элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

матрицы (3.36) уже введенный нами определитель порядка (n-1), отвечающий матрице

(3.36), у которой удалены i-я строка и j-й столбец. Договоримся обозначать

минор элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

символом Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Например, минор любого элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

первой строки матрицы (3.36) является следующим определителем порядка (n-1):

Назовем определителем порядка n, отвечающим матрице (3.36), число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равное сумме

(3.37)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

(3.38)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Заметим, что при n = 3 разложение (3.37) совпадает с разложением (3.16)

определителя третьего порядка по первой строке.

Рассмотрим теперь неоднородную систему n уравнений с n неизвестными:

(3.39)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Определитель порядка n, составленный из коэффициентов при неизвестных системы

(3.39) и совпадающий с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

из равенства (3.38), называется определителем этой системы При любом j, равном

1, 2, ..., n, обозначим символом Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

определитель порядка n, полученный из определителя системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

путем замены его j-го столбца столбцом свободных членов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

В полной аналогии со случаем n = 3 оказывается справедлив следующий результат:

если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

неоднородной системы (3.39) отличен от нуля, то эта система имеет единственное

решение, определяемое формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Далее можно доказать, что если определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равен нулю, а хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля, то система (3.39) не имеет решений.

В случае же, если n > 2 и все определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , равны нулю,

система (3.39) может также не иметь решений, но если она имеет хотя бы одно

решение, то она имеет их бесчисленное множество.

4. Отыскание решения линейной системы методом Гаусса

Рассмотрим неоднородную систему (3.39), в которой мы теперь для сокращения

записи переобозначим свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, используя для них обозначение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

при i = 1, 2 ..., n. Изложим один из самых простых методов решения этой системы,

заключающийся в последовательном исключении неизвестных и называемый

методом Гаусса.

Выберем из коэффициентов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

при неизвестных коэффициент, отличный от нуля, и назовем его ведущим. Не

ограничивая общности, будем считать, что таким коэффициентом является Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(иначе мы могли бы поменять порядок следования неизвестных и уравнений).

(3.40)

Поделив все члены первою уравнения (3.39) на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, получим первое приведенное уравнение

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

в котором Курсовая: Определители и системы линейных уравнений при j = 1, 2, ..., (n+1).

Напомним, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , и, в частности, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Для исключения неизвестного Курсовая: Определители и системы линейных уравнений вычтем из i-го уравнения системы (3.39)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (i = 2, 3 ..., n)

умноженное на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений приведенное уравнение (3.40).

В результате получим для любого i = 2, 3, ..., n уравнение

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

в котором

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений при j = 2, 3, ..., (n+1).

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Таким образом, мы получаем первую укороченную систему:

(3.42)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

коэффициенты которой определяются по формулам (3.41).

В системе (3.42) находим отличный от нуля ведущий коэффициент. Пусть это будет Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда, поделив первое уравнение (3.42) на этот

коэффициент, мы получим второе приведенное уравнение и, исключив с помощью этого

уравнения по описанной выше схеме неизвестноеКурсовая: Определители и системы линейных уравнений

, придем ко второй укороченной системе, не содержащей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Продолжая рассуждения по этой

схеме, называемой прямым ходом метода Гаусса, мы либо завершим ее

реализацию, дойдя до линейного уравнения, содержащего только одно неизвестное,

либо не сможем завершить ее реализацию (вследствие того, что исходная система

(3.39) не имеет решений). В случае, если исходная система (3.39) имеет решения,

мы получим цепочку приведенных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

из которой обратным xодом метода Гаусса последовательно находятся неизвестные

(3.43)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Подчеркнем, что все операции при обратном ходе метода Гаусса (1.43)

выполняются без деления,

В качестве примера рассмотрим неоднородную систему трех уравнений с тремя

неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.44)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Конечно, можно убедиться в том, что определитель системы (3.44) отличен от нуля,

и найти Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений по формулам

Крамера, но мы применим метод Гаусса.

Поделив первое уравнение системы (3.44) на 2, получим первое приведенное

уравнение:

(3.45)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Вычитая из второго

уравнения системы (3.44) приведенное уравнение (3.45), умноженное на 3, и

вычитая из третьего уравнения системы (3.44) приведенное уравнение (3.45),

умноженное на 4, мы получим укороченную систему двух уравнений с двумя

неизвестными:

(3.46)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Поделив первое уравнение (3.46) на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , получим второе приведенное уравнение:

(3.47)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Вычитая из второго уравнения (3.46) приведенное уравнение (3.47), умноженное

на 8, получим уравнение:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

которое после сокращения на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений дает Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 3.

Подставляя это значение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

во второе приведенное уравнение (3.47), получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -2. Наконец, подставляя найденные значения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -2 и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 3 в первое

приведенное уравнение (3.45), получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во

Проспект, 2004г. – 600с.

Страницы: 1, 2, 3


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.