Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия



РУБРИКИ	Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия	РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

ПОИСК

Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия

Омский Государственный Университет Кафедра Математической Логики и Логического Программирования Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия. дипломная работа студентки гр.ММ-702 Соколовой Ю.С. _________________ (подпись) Научный руководитель к.ф.-м.н. Лопатков М.Г. _________________ (подпись) Омск – 2002 Содержание. Введение.............................................3 1. Классификация ошибок с примерами.....................5 1.1. Классификация по типам задач......................5 1.2. Классификация по типам преобразований............10 2. Тесты..................................12 3. Протоколы решений.................................18 3.1. Протоколы неверных решений...........................18 3.2. Ответы (протоколы верных решений)..............34 3.3. Ошибки, допущенные в решениях..................51 Приложение.............................53 Литература............................56 ВВЕДЕНИЕ “На ошибках учатся”, - гласит народная мудрость. Но для того, чтобы извлечь урок из негативного опыта, в первую очередь, необходимо увидеть ошибку. К сожалению, школьник зачастую не способен ее обнаружить при решении той или иной задачи. Вследствие чего возникла идея провести исследование, цель которого - выявить типичные ошибки, совершаемые учащимися, а также как можно более полно классифицировать их. В рамках этого исследования был рассмотрен и прорешен большой набор задач из вариантов апрельского тестирования, тестов и письменных заданий вступительных экзаменов в ОмГУ, различных пособий и сборников задач для поступающих в вузы, внимательно изучены материалы заочной школы при НОФ ОмГУ. Полученные данные подверглись подробному анализу, при этом большое внимание было уделено логике решений. На основе этих данных были выделены наиболее часто допускаемые ошибки, то есть типичные. По результатам этого анализа была сделана попытка систематизировать характерные ошибки и классифицировать их по типам преобразований и типам задач, среди которых были рассмотрены следующие: квадратные неравенства, системы неравенств, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем, иррациональные уравнения, системы уравнений, задачи на движение, задачи на работу и производительность труда, тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, планиметрия. Классификация сопровождается иллюстрацией в форме неверных протоколов решений, что дает возможность помочь школьникам развить умение проверять и контролировать себя, критически оценивать свою деятельность, находить ошибки и пути их устранения. Следующим этапом стала работа с тестами. Для каждой задачи были предложены пять вариантов ответов, из которых один верный, а остальные четыре неверные, но взяты не случайным образом, а соответствуют решению, в котором допущена конкретная стандартная для задач данного типа ошибка. Это дает основание для прогнозирования степени “грубости” ошибки и развития основных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тесты имеют следующую структуру:

Тип задач
Условие задачи	Варианты ответа
	Коды ошибок

Коды ошибок делятся на три вида: ОК – верный ответ, цифровой код - ошибка из классификации по типам задач, буквенный код – ошибка из классификации по типам преобразований. Их расшифровку можно посмотреть в главе 1. Классификация ошибок с примерами. Далее были предложены задания найти ошибку в решении. Эти материалы были использованы при работе со слушателями заочной школы при НОФ ОмГУ, а также на курсах повышения квалификации учителей г.Омска и Омской области, проводимых НОФ ОмГУ. В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и оценки уровня знаний и умений тестируемого. Появляется возможность выявить проблемные области в работе, зафиксировать удачные методы и приемы, проанализировать, какое содержание обучения целесообразно расширить. Но для наибольшей эффективности этих методов необходима заинтересованность учащегося. С этой целью мной совместно с Чубрик А.В. и был разработан небольшой программный продукт, генерирующий неверные решения линейных и квадратных уравнений (теоретическая база и алгоритмы – я и Чуубрик А.В., помощь в реализации – студент гр. МП-803 Филимонов М.В.). Работа с данной программой дает школьнику возможность выступить в роли учителя, учеником которого является компьютер. Полученные результаты могут послужить началом более серьезного исследования, которое в ближайшей и отдаленной перспективе сможет внести необходимые корректировки в систему обучения математике. 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК С ПРИМЕРАМИ 1.1. Классификация по типам задач 1. Алгебраические уравнения и неравенства. 1.1. Квадратные неравенства. Системы неравенств: 1.1.1. Неправильно найдены корни квадратного трехчлена: неверно использована теорема Виета и формула для нахождения корней;

1.1.2. Неправильно изображен график квадратного трехчлена;

Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия

1.1.3. Неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство выполняется;

1.1.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;

1.1.5. В системах неравенств неправильно взято пересечение решений всех неравенств;

1.1.6. Неправильно включены или не включены концы интервалов в окончательный ответ;

1.1.7. Округление.

1.2. Дробно-рациональные уравнения: 1.2.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: не учтено, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю;

ОДЗ:

. 1.2.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ;

ОДЗ:

. Ответ:

1.2.3. Нерациональность в приведении к общему знаменателю;

1.2.4. Неправильно найдены корни уравнения;

1.2.5. Неэквивалентная замена переменной; Замена переменной:

. 1.2.6. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину;

1.2.7. Не учтена кратность корня.

1.3. Уравнения с модулем: 1.3.1. При снятии знака модуля не учтено, при каких условиях был получен соответствующий корень;

Один из случаев:

. В этом случае получаем уравнение

. Решение:

. 1.3.2. Неправильно снят знак модуля: неверно использовано определение модуля;

Один из случаев:

. Тогда уравнение примет вид:

. 1.3.3. Перечислены не все случаи, возникающие при снятии знака модуля с выражений, стоящих в уравнении;

Т.к. в уравнении 2 знака модуля возможно 2 случая:

. 1.3.4. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину. Аналогично. 1.4. Иррациональные уравнения: 1.4.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ: неучтено, что выражение под знаком корня четной степени должно быть неотрицательным;

ОДЗ:

. 1.4.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ; Аналогично. 1.4.3. Не учтено, что квадратный арифметический корень - неотрицательная величина, что он определен только для неотрицательных чисел;

. 1.4.4. При возведении уравнения в квадрат не учтены знаки обеих его частей;

. 1.4.5. Неэквивалентная замена переменной; Аналогично. 1.4.6. Деление на выражение, содержащее неизвестную величину. Аналогично. 1.5. Системы уравнений: 1.5.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (см. конкретные уравнения); 1.5.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ; Аналогично. 1.5.3. Для каждого отдельного уравнения см. ошибки в предыдущих разделах; 1.5.4. Неправильно сформирован ответ. Аналогично системам неравенств. 2. Текстовые задачи. 2.1. Задачи на движение: 2.1.1. Неправильно введены неизвестные величины: введены неизвестные величины, с помощью которых невозможно или трудно получить ответ, или несоответствующие смыслу задачи; 2.1.2. Составлено уравнение (неравенство), связывающее неизвестные величины с заданными величинами, несоответствующее условиям задачи; .первый из А в С прошел на 12 км меньше, чем второй из В в С.

2.1.3. При решении полученных уравнений (неравенств) допущены ошибки, рассмотренные в предыдущих разделах; 2.1.4. Отобранные решения не соответствуют смыслу задачи; Ответ:

, где

- скорости. 2.1.5. Неправильно поняты термины “позже”, “раньше” и т.д.; Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:

. 2.1.6. Неправильно применены формулы средней скорости, пути и т.д.; Находим время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:

. 2.1.7. Выполнены преобразования с разными единицами измерения (км – м, ч – сек и т.д.) .известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей стоимости 3 м зеленой и 50 см синей.

. уравнение, связывающее эти стоимости:

. 2.2. Задачи на работу и производительность труда: 2.2.1. Ошибки аналогичны допускаемым в задачах на движение. 3. Тригонометрия. 3.1. Тригонометрические уравнения: 3.1.1. Неправильно указано или не указано ОДЗ (аналогично алгебраическим уравнениям); 3.1.2. При получении ответа не учитывается ОДЗ; 3.1.3. Неправильно применены формулы: в формулах приведения получили неверный знак или функцию; в преобразовании суммы или разности в произведение (или наоборот) перепутали sin и cos, или полу сумму аргументов с полу разностью, или опустили множитель ½; в формулах сложения, понижения степени аналогично;

. 3.1.4. Неправильное преобразование сложной функции;

3.1.5. Использование неправильной области определения или свойств функции;

3.1.6. Допущены ошибки в преобразованиях, аналогичных алгебраическим уравнениям. 3.2. Системы тригонометрических уравнений: 3.2.1. Те же ошибки, что и в предыдущем разделе, при решении каждого уравнения; 3.2.2. Неправильный отбор корней: при получении ответа не учтено, что k и n, пробегающие множество целых чисел, могут быть как различными, так и одинаковыми;

Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия

Ответ:

. 3.2.3. Те же ошибки, что и при решении систем алгебраических уравнений. 4. Планиметрия. 4.1. Неправильно сделан чертеж;

Окружность на чертеже – это окружность, вписанная в сектор.

4.2. Неправильно использованы формулы, теоремы или свойства фигур и тел; .Радиус окружности можно найти с помощью теоремы синусов:

. 4.3. Не приведены величины к одной единице измерения; Аналогично. 4.4. Ответ не соответствует смыслу задачи; 4.5. Могут быть допущены алгебраические ошибки. 1.2. Классификация по типам преобразований A. Неправильно раскрыли скобки;

B. При переносе слагаемого в другую часть уравнения или неравенства не сменили его знак на противоположный;

C. Неправильно привели подобные;

D. Перенос переместительного закона умножения / распределительного закона умножения относительно сложения на другие действия и преобразования;

E. Ошибочное установление аналогии между объектами внешне сходными, но по сути различными;

F. Неправильный порядок действий;

G. Перепутаны степень и коэффициент;

H. Неправильно перемножены многочлены и одночлены;

I. Неправильно поделены многочлены и одночлены;

J. Неправильное разложение на множители;

K. Неправильные тождественные преобразования иррациональных выражений;

L. Арифметическая ошибка. 2. ТЕСТЫ

Алгебраические уравнения
1. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравненияравна								0
	OK	1.2.6.			1.2.9.			L.		H.
2. Сумма корней уравнения равна	6	12			5					7
	OK	1.3.1.			1.3.3.			1.3.2.		1.3.2
3. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно	2	1,5			3			-3		4,5
	OK	1.2.6.			1.2.7.			H.		L.
4. Сумма корней уравнения равна	0	-4			-2			-8
	OK	1.2.6.			1.2.7.			1.2.4.		B.
5. Сумма корней уравнения равна	2	4								3
	OK	1.3.1.			1.3.2.			1.1.1.		1.3.3.
6. Сумма кубов действительных корней уравнения	-9	6			36			15		-1701
	OK	E.			1.1.1.			E.		1.2.5.
7. Если - корень уравнения , то значение выражения равно								корней нет
	OK	1.4.1.			D.			H.		L.
8. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна										1
	OK	1.3.3.			L.			1.3.1.		J.
9. Произведение корней уравнения равно	-4				18					-1,5
	OK	1.1.1.			1.4.3.			H.		1.2.5.
10. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения равно	-0,5	0,5			корней нет			1
	OK	1.1.1.			1.2.3.			L.		1.2.1.
Текстовые
1. Автобус из A в B ехал со скоростью 50 км в час, а обратно – со скоростью 30 км в час. Найти среднюю скорость движения автобуса.	37,5	40		30			20
	OK	2.1.6.		2.1.6.			2.1.6.			2.1.6.
2. Два насоса, работая вместе, наполняют бак за 15 минут. В одиночку второй насос способен наполнить бак на 40 минут быстрее первого. За сколько минут первый насос наполняет бак в одиночку?	60	20		27,5			12,5			35
	OK	2.1.5.		2.1.2.			2.1.6.			2.1.2.
3. 2 кг яблок и 3 кг груш стоят вместе 180 рублей, а 4 кг яблок и 1 кг груш стоят 160 рублей. Сколько стоят 2 кг груш и 1 кг яблок?	110	100		285						299
	OK	L.		2.1.6.			2.1.2.			2.1.2.
Тригонометрия
1. Результат вычисления выражения равен	2	1			0,5			0
	OK	3.1.3.			3.1.3.			3.1.3.				3.1.3.
2. Результат вычисления выражения равен
	OK	3.1.3.			D.			3.1.4.				3.1.3.
3. Результат вычисления выражения равен	0,1
	OK	3.1.3.			C.			A.				3.1.4.
4. Результат вычисления выражения равен
	OK	3.1.4.			3.1.3.			3.1.4.				3.1.4., 3.1.5.
5. Результат вычисления выражения равен	5	10
	OK	3.1.3.			3.1.3			3.1.3., 3.1.5				3.1.3., 3.1.4
6. Результат вычисления выражения равен	1
	OK	3.1.3.			3.1.3.			3.1.3.				L.
7. Результат вычисления выражения равен	4
	OK	3.1.3.			L.			3.1.3.				3.1.5.
8. Результат вычисления выражения равен					-0,5
	OK	3.1.3.			3.1.4.			3.1.3.				3.1.3.
9. Если , то значение выражения равно	-1	1			0			0,5
	OK	3.1.3.			3.1.3.			3.1.3.				3.1.4.
10. Если , то значение выражения равно	0,3	0,52						0,7				0,6
	OK	3.1.4.			L.			3.1.3.				3.1.3.
11. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку		0
	OK	3.1.3.			3.1.3.			1.1.1.				1.1.1.
12. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
	OK	3.1.5.			L.			3.1.3., 3.1.4.				L.
13. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	4	2			1							3
	OK	3.1.3.			3.1.5.			3.1.4.				3.1.4.
14. Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	2	1			3			4				0
	OK	3.1.5.			3.1.3.			3.1.3.				3.1.4.
Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку	3	2			0			4				1
	OK	3.1.5.			B., 1.3.4.			1.3.4.				1.3.4.
16. Укажите в градусах сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
	OK	3.1.5.			L.			3.1.5.				3.1.5., 3.1.3.
17. Чему равно , если , , , ?
	OK	3.1.3.			3.1.5.			3.1.3.				L.
18. равно
	OK	3.1.3.			3.1.3.			3.1.4.				3.1.3.
19. равно
	OK	3.1.3.			3.1.3.			3.1.4.				3.1.3.
Планиметрия
1. Если в треугольнике заданы , , , то синус угла равен
	OK		4.2.			4.2.		4.4.				L.
2. Если длины диагоналей ромба относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12, то длина стороны ромба равна
	OK		4.2.			D.		L.				L.
3. Если в окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна , и в треугольник вписана окружность, то площадь кольца равна
	OK		4.2.			4.2.		4.2.				L.
4. Если в треугольнике угол при вершине равен , , высота, то площадь треугольника равна	8		4			32		16				3
	OK		4.1.			4.2.		L.				L.
5. Если в треугольнике заданы , , , то синус угла равен
	OK		3.1.5.			3.1.3.		D.				4.2.
6. Если в треугольнике заданы , , , то длина стороны равна
	OK		4.2.			L.		4.2.				L.
7. Если в окружности радиуса проведена хорда, которая стягивает дугу в , то расстояние от центра окружности до данной хорды равно	13,5					13,005						4,5
	OK		4.2.			1.1.7.		L.				L.
8. Если одна из диагоналей параллелограмма, длина которой равна , составляет с основанием угол , а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол , то длина второй диагонали равна	12		8			18						16
	OK		4.2.			L.		L.				L.
9. Если в круге, площадь которого равна , проведена хорда длиной 3, то расстояние от центра круга до хорды равно	2		6,067			2,9		1
	OK		4.2., 1.1.7.			4.2., 1.1.7.		D.				L.
10. Если в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 20, а радиус вписанной окружности – 4, то сумма длин катетов треугольника равна	28		20			24		36				26
	OK		D.			L.		4.2.				L.
11. Если площадь ромба равна 18, а острый угол , то длина стороны ромба равна	6					3
	OK		4.2.			4.2.		3.1.5., L.				3.1.5.
12. В прямоугольном треугольнике с катетом и медианой , проведенной к гипотенузе, расстояние между точкой и основанием высоты равно	3,5		24,5									4,5
	OK		L.			4.2.		L.				L.
13. Отрезок длины 5, соединяющий боковые стороны равнобокой трапеции и параллельный ее основаниям, равным 2 и 7, делит площадь трапеции в отношении
	OK		4.2.			4.2.		4.2.				L.
14. В круг радиуса 10 вписан равнобедренный треугольник с углом в . Найти его периметр.								30
	OK		4.2.			4.2.		3.1.5.				L.
15. и – центры кругов радиуса 6, . Тогда площадь общей части этих кругов равна
	OK		3.1.4.			4.2.		4.2.				A.
16. Если в равнобокой трапеции высота равна 14, основания равны 12 и 16, то площадь круга, описанного около трапеции, равна
	OK		4.2.			4.2.		4.2.				L.
Алгебраические преобразования
1. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	J.			E.				D.		J.
2. Результат упрощения выражения имеет вид		0
	OK	D.			A., D.				D.		H.
3. Результат сокращения дроби имеет вид
	OK	I.			I.				1.1.1.		1.1.1.
4. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	E.			D., L.				E.		E.
5. Результат упрощения выражения имеет вид	1
	OK	E.			E.				I.		K.
6. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	J.			I.				I., L.		I.
7. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	K.			I.				I., C.		L.
8. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	I., H.			D.				E.		A.
9. Результат вычисления имеет вид
	OK	K., I.			K., D.				K., I.		I., K.
10. Результат упрощения выражения имеет вид
	OK	J.			I.				I.		E.