|
|
|
|
Диплом: Анализ типичных ошибок при решении задач курса школьной математики: уравнения, тригонометрия, планиметрия
3. ПРОТОКОЛЫ РЕШЕНИЙ
3.1. Протоколы неверных решений
Задача 1.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола, ветви которой направлены вниз:
| Нужно отметить те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 2.
Решить неравенство:  .
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения  по теореме Виета:
 График функции  - это парабола.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 3.
Решить неравенство: 
Решение:
Упростим выражение, сократив на x. Получим неравенство: 
Следовательно, ответ: 
Задача 4.
Решить неравенство: 
Решение:
Корни уравнения  : 
График функции  -
это парабола, ветви которой направлены вверх.
| Выберем те значения x, при которых график находится выше оси Ox. Следовательно, получаем ответ:  |
Задача 5.
Решить неравенство: 
Решение:
Домножим неравенство на –1, получим: 
Выделим полный квадрат: 
В левой части неравенства стоит неотрицательное число, а значит неравенство
верно при любых значениях x, кроме случая равенства, т.е. 
Запишем окончательный ответ: 
Задача 6.
Решить систему неравенств: 
Решение:
Решаем каждое из неравенств системы в отдельности:
1. 
2. 
3. 
Ответ:  .
Задача 7.
Решить уравнение: 
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель:
Ответ: x = 1.
Задача 8.
Решить уравнение: 
Решение:
ОДЗ:  , т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
Приведем подобные и отбросим знаменатель:
Получили  , но эти корни не входят в ОДЗ, поэтому ответ: решений нет.
Задача 9.
Решить уравнение:  .
Решение:
Рассмотрим 4 возможных случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решение:  .
3.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Решений нет.
4.  .
Получаем
уравнение  - не
удовлетворяет уравнению.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 10.
Решить уравнение:  .
Решение:
Т.к. в уравнении 2 знака модуля, возможны 2 случая:
1.  .
В
этом случае получаем уравнение 
. Это значение удовлетворяет уравнению, поэтому является корнем данного
уравнения.
2.  - этот случай невозможен.
Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ:  .
Задача 11.
Решить уравнение:  .
Решение:
Возможны 2 случая:
1.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
2.  . Тогда уравнение примет вид:  - корень исходного уравнения.
Ответ:  .
Задача 12.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
, причем т.к.  , то
для корректности возведения в квадрат необходимо, чтобы 
. Получим уравнение 
. Найдем его корни: 
. Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но только один 
удовлетворяет дополнительному ограничению 
. Поэтому ответ:  .
Задача 13.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим в
правую:  
. Затем возводим в квадрат: 
. Получим уравнение 
. Его корни:  . Оба
корня удовлетворяют ОДЗ. Поэтому ответ: 
.
Задача 14.
Решить уравнение:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Выделим полный квадрат под первым знаком корня:  .
Получим уравнение: 
. Оставляем корень в левой части уравнения, а все остальные слагаемые переносим
в правую и умножим уравнение на -1:  
. Возведем обе части уравнения в квадрат с учетом 
, получим  . Найдем
корни:  . Учитывая
ОДЗ и дополнительное ограничение 
, получаем ответ:  .
Задача 15.
Решить систему уравнений:  .
Решение:
ОДЗ:  .
Из второго уравнения находим  и подставляем в первое:  .
Делаем замену переменной: 
. Получаем квадратное уравнение относительно t: 
. Получим корни:  .
Имеем 2 случая:
1.  - это невозможно, т.к.  - неотрицательная величина.
2.  . Отсюда  .
Ответ: (1; 9).
Задача 16.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый
выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) –
скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ. Изобразим на чертеже движение
пешеходов.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Из условия задачи имеем:  .
Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи:  .
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и
решим уравнение:  .
Это уравнение корней не имеет. Следовательно, ответ: такая ситуация невозможна.
Задача 17.
Решить задачу: Два туриста идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый
выходит из А на 6 часов раньше, чем второй из В, и при встрече в пункте С
оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи
путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а
второй в А – через 9 часов. Определить расстояние АВ и скорость обоих
пешеходов.
Решение:
Пусть  (км/ч) – скорости первого и второго пешеходов, S(км)=АВ.
| Т.к. участок ВС первый прошел за 8 часов, то  . Второй прошел расстояние СА за 9 часов, поэтому  . |
Т.к. первый до встречи в С со вторым прошел на 12 км меньше, то 
. Выразим теперь время, затраченное пешеходами от начала движения до их встречи: 
.
Т.к. первый вышел на 6 часов раньше, то:  .
Сделаем замену:  и решим уравнение:  . Его корни:  .
Получили 2 случая:
1.  .
2.  .
Значит,
1.  ;
2.  .
Т.к. расстояние не может быть отрицательным, то подходит только второй случай.
Ответ:  .
Задача 18.
Решить задачу: Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12
часов. Одна первая труба наполняет бассейн на 10 часов медленнее, чем одна
вторая. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение:
Положим объем бассейна = 1. Пусть 
(ч) – время наполнения бассейна одной второй трубой. Тогда одна первая труба
наполнит бассейн за 
часов. Находим производительность этих труб: 
. За 12 часов совместной работы с общей производительностью 
заполняется весь бассейн: 
. Решаем полученное уравнение: 
.
Ответ:  .
Задача 19.
Решить задачу: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей
ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше,
чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Сколько метров ткани было в
каждом куске, если известно, что стоимость 4.5 м черной ткани = общей
стоимости 3 м зеленой и 50 см синей?
Решение:
Пусть  -количество черной, зеленой и синей ткани соответственно.
Известно:  .
Используем формулу: ,
где  - цена ткани,
S – стоимость куска, q – количество ткани.
Пусть S = 1. Получим 
- цены тканей. Составим уравнение, связывающее эти стоимости: 
.
Выразим  и  через  :  .
Подставляем в последнее уравнение:  .
 . Получили .
Ответ:   .
Задача 20.
Решить уравнение:  .
Решение:
По формулам приведения приведем все функции к одному аргументу: 
. Получили уравнение: 
. По формулам сокращенного умножения разложим на множители: 
. По основному тригонометрическому тождеству 
, поэтому остается решить уравнение: 
.
Рассмотрим 2 случая:
1.  .
Разделим на , причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = 1. Следовательно, 
.
2.  .
Разделим на , причем 
. Тогда имеем уравнение: tg x = -1. Следовательно, 
.
Получили ответ:  .
Задача 21.
Решить задачу: В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1
см. Хорда МВ делит вписанный угол АМС пополам. Найти радиус этой окружности.
Решение:
Страницы: 1, 2, 3, 4
|
|
|
|
|
. По теореме косинусов из треуг-ка 
имеем: 
. Аналогично из треуг-ка 
имеем: 
.