Диплом: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

Диплом: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

где асимптотическая

плотность распределения отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов

от асимптотического среднего.

2 этап. Функции будем искать с точностью до в форме

(2.14)

Найдем вид функций ,

и . Для этого в

системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничимся слагаемыми порядка

. Получим

(2.15)

В уравнения (2.15) подставим

в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных

алгебраических уравнений относительно

вида

,

, (2.16)

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг

матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений

(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9)

мы знаем, что .

Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии,

что функция

известна, решение можно записать в виде

,

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию . Перейдем к третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все

функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим

(2.19)

Теперь подставим в уравнения (2.19)

в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

(2.20)

Подставляя вместо и

их выражения, полученные на втором этапе получим для

уравнение Фоккера-Планка

, (2.21)

где

Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8]

является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним и

дисперсией

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим

протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1, в условиях

большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай, когда

интенсивность каждой заявки в ИПВ равна

. Структура такой СМО имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного распределения

процесса ,

описывающего функционирование сети

(3.1)

где

Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но

можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при

.

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных

. В результате замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

.

В новых обозначениях . Тогда система (3.1) примет вид

(3.2)

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Считая и предполагая, что , будем иметь

(3.3)

.

Выразим через функцию и получим

(3.4)

где

- асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных

вызовов.

Обозначим

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

(3.6)

.

Осталось найти вид функции . Для этого перейдем ко второму этапу.

2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению

аргумента ,

ограничиваясь слагаемыми порядка

, получим систему

(3.7)

Просуммируем полученные уравнения, поделим на и перейдем . Тогда будем иметь

. (3.8)

С учетом того, что

равенство (3.8) принимает вид

. (3.9)

Таким образом мы получили, что

удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным

, и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента переноса

можно сделать вывод, что

, то есть зависит

от времени и –

имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго

флуктуируют значения нормированного процесса

.

Второе приближение

Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений

отклонения от его

среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену

переменных ,

, ,

.

В новых обозначениях производная равна

.

Будем иметь

(3.10)

Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три

этапа.

1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим

и найдем решение в виде

(3.11)

где –

асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных

вызовов в окрестности асимптотического среднего.

Перейдем ко второму этапу.

2 этап. Неизвестные функции будем искать с точностью до форме

(3.12)

где имеют вид

аналогичный (3.5), где в качестве

выступает и для них

справедливы равенства (3.7).

Найдем вид функций .

С точностью до (3.10) запишем

(3.13)

В уравнения (3.13) подставим

в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных

линейных алгебраических уравнений относительно функций

вида

,

, (3.14)

Система (3.14) будет иметь решение, если

. Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что

. Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии,

что функция

известна, решение системы (3.14) можно записать так

(3.15)

Перейдем к третьему этапу.

3 этап. С точностью до уравнения (3.10) запишем следующим образом

(3.16)

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16)

в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше

и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения

(3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции

и , найденные на

втором этапе. В результате приведения подобных, для

получим уравнение Фоккера-Планка

(3.18)

с коэффициентом переноса и коэффициентом диффузии

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса

, плотность распределения вероятностей которого

.

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для в общей форме

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5