Диплом: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

, (3.19)

где - винеровский

процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае

оно приобретает вид

. (3.20)

Введем новый случайный процесс , (3.21)

для его приращения справедливо

Выберем функцию

так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению

. Например, . Тогда

и, следовательно, .

Выразим из (3.21) функцию (заметим, что ) и получим

(3.22)

Анализируя вид процесса

можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем

и , которые

полностью определяют вид плотности распределения

. Учитывая свойства винеровского процесса, получим

(3.23)

Найдем дисперсию.

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение

, тогда получим

С учетом того, что будем иметь

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

(3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид

(3.25)

Пусть , где

- точка покоя дифференциального уравнения

, которая определяется конечным уравнением

, (3.26)

где .

Возможны три варианта:

1. , тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).

2. , тогда существует одна точка покоя .

3. , тогда существует две точки покоя и .

Для примера рассмотрим случай, когда

(рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень

. Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны

. Если взять , то

уравнение (3.26) будет иметь два корня

и (рис. 3.7). Для

первой точки коэффициенты диффузии равны

, для второй .

Точка является

нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном

режиме, то в окрестности точки

распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет

вид

, (3.27)

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7

4. Исследование стационарного режима в сети с динамическим протоколом

случайного множественного доступа для конечного числа станций

Рассматривается сеть связи, состоящая из конечного числа малых абонентских

станций, центральной станции и спутника ретранслятора. Спутник, приняв

сообщение от периферийной станции передает его на центральную. Так как

спутниковый канал связи совместно используют все станции, то возможно

совпадение времени ретрансляции сообщений, при этом сообщения искажаются

(попадают в конфликт) и требуют повторной передачи. Архитектура подобных

сетей связи позволяет реализовать протоколы случайного множественного доступа

с оповещением о конфликте, в которых для избежания искажения других

сообщений, центральной станцией рассылается сигнал оповещения о конфликте.

Сообщения, попавшие в конфликт, должны будут переданы абонентскими станциями

повторно после случайной задержки для избежания повторных конфликтов.

Математической моделью рассматриваемой сети связи может служить однолинейная

система массового обслуживания, на вход которой поступает примитивный поток

неповторных требований с параметром

, где N – число периферийных абонентских станций сети, i – число

тех АС, которые либо передают свои сообщения, либо осуществляют их случайную

задержку для повторной передачи,

, если обслуживающий канал (спутник) свободен,

, если обслуживающий канал осуществляет успешную передачу.

Каждое требование в момент поступления в систему встает на прибор и начинает

обслуживаться. Отправив заявку на обслуживание, АС не генерирует других заявок

до тех пор, пока отправленная заявка не обслужится успешно. Обслуживание

экспоненциальное с параметром m. Если за время обслуживания какого-либо

требования другие заявки не поступали в систему, то исходное требование

считается успешно обслуженным и покидает систему. В противном случае, т.е.

когда одновременно обслуживались два или более требований, происходит конфликт.

Продолжительность этапа оповещения о конфликте распределена по

экспоненциальному закону с параметром

. Заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ, откуда пытаются встать на

обслуживание вновь через экспоненциально (с параметром

) распределенную задержку. Структура такой СМО имеет вид рис. 4.1.

N

Рис. 4.1 – Модель системы массового обслуживания

Состояние исследуемой сети связи можно описать двумерной случайной величиной

, изменение во времени которой образует двумерный процесс

.

Случайная величина

описывает состояние обслуживающего канала в момент времени t и принимает

три значения:

величина показывает число заявок в ИПВ в момент времени t .

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние

за бесконечно малый интервал времени

.

1. Пусть система находится в состоянии

, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал

времени состояние

системы может измениться таким образом:

а) с вероятностью

из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет

прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени

будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью к

прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система

перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i

требований, за интервал времени

возможны следующие переходы:

а) с вероятностью

прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени

система будет находиться в состоянии

;

б) с вероятностью

в систему поступит новое требование из входящего потока, произойдет конфликт.

Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется

интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью к

прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки

переместятся в ИПВ, следовательно,

система в момент времени будет находиться в состоянии ;

г) с вероятностью состояние системы не изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины

:

а) с вероятностью

к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в

ИПВ. В момент времени

система будет в состоянии

;

б) с вероятностью

интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние

;

в) с вероятностью состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости .

Процесс является марковским, распределение которого

в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений

(4.1)

4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети

Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом марковизируемых

систем [7] при .

Первое приближение

В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных:

. В результате такой замены производится переход от дискретной переменной

к непрерывной переменной

. В новых обозначениях система (4.1) примет вид

(4.2)

Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.

1 этап. Устремим к нулю и обозначим . Тогда система (4.2) перейдет в систему

(4.3)

решение которой имеет вид

(4.4)

где

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5