|
|
|
|
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
на тему: "Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле". |
Оглавление.
Введение.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка).
б) Обобщенная задача Дирихле
в) Видоизмененная задача Дирихле.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
е) Задача Неймана.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга.
б) Интегральная формула Пуассона.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца
(1912).
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.
б) Функции Вейерштрасса (I(u),  (u),  (u)).
§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
Дирихле для соответствующих областей.
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей.
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных
областей.
Литература.
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в заданных
многосвязных областях.
Даны новые методы решения классических краевых задач методом интегральных
представлений аналитических функций, используя метод конформного отображения
канонической области 
(z) на соответствующие области G
(w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового кольца,
автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-Шварца и
Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового
кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению
классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих
задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень работ
по данному исследованию (1 – 24).
Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые для
понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной
классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая,
видоизмененная) для любой связности заданной области G
= G (w)
и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для
полуплоскости).
В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца в
форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная, контурная,
структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же, ввиду важности трех
функций I(u), 
(u) и  (u
) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все
варианты представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] –
[22] специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового
кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о
содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и
параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями курсовых
работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была названа
Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача формулируется
следующим образом.
Пусть на границе 
области D+ задана непрерывная функция f(
). Найти непрерывную в 
и гармоническую внутри области D+ функцию U(z
), принимающую на границе значения f(
). Таким образом, требуется, чтобы U(z) стремилась к f(
), когда z 
D+ стремится к   
, u(z) → f(
), при z → 
.
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура, электромагнитные
и магнитные потенциалы – все являются гармоничными функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит определение
температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре.
Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по
заданным значениям ее нормальной производной 
на  , а также
смешанной задачи Дирихле-Неймана.
Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на
некоторых дугах границы 
и значениям нормальной производной на остальной части 
.
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике. Различные
приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев И.А. и Шабат
Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле занимает
исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится основная
задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и изгиба в теории
упругости. С нею же тесно связаны основные задачи статистической теории
упругости. Мы будем заниматься плоской задачей, которая представляет для нас
особый интерес как по обилию приложений, так и по большей разработанности и
эффективности методов решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
 , (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и
для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых
краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять
искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической
функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой
краевой задаче или задаче Дирихле:
Найти гармоническую в области D и непрерывную в 
функцию u(z), которая на границе D принимает заданные
непрерывные значения u(
).
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области.
К ней сводятся и краевые задачи других типов.
б) Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений 
, является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу
Дирихле [1]:
На границе  области
D задана функция 
, непрерывная всюду, кроме конечного числа точек 
, где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в
области D функцию u(z), принимающую значения u(z) = 
во всех точках непрерывности этой функции.
Если заданная функция 
непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие
ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в 
.
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции 
существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.
Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D
и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции 
решение обобщенной задачи Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле
для единичного круга дается интегралом Пуассона
 ,  ,  ) (2)
3. для произвольной области D,
мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной
формулой Дж.Грина [12, 18]:
 , (3)
где  - производная в направлении внутренней нормали к С,
ds - элемент длины  , соответствующей  ,
 - элемент
внутренней нормали к 
,  - фиксированная
произвольная точка области D, а функция 
;  , реализующая
отображение D на единичный круг 
и  - функция Грина
для области D, гармоническую всюду в D кроме точки 
, где имеет плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D
через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит
решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача
Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью
простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми
непересекающимися гладкими контурами 
, из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем
подразумевать совокупность этих контуров 
, ( ). Через 
- мы обозначим совокупность конечных областей 
заключенных, соответственно, внутри контуров 
и бесконечной области 
, состоящей из точек расположенных вне 
. На контуры  мы
наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к 
с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
Функция 
удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух 
переменной  на этом
множестве
 , (4)
где A и  -
положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а 
- показатель условия Н и при 
=1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются
непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в  , по граничному условию
u=f(t) на L, (5)
где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в
случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она
оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне
определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга  в ряд.
 ,  )
абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса 
поэтому u→
при r→ .
Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача,
которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в
статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в  , по следующим условиям:
1. u(x,y)= Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
u=f(t)+ (t) на L, (6)
где f(t) – заданная на  непрерывная функция  ,  , (7)
где  постоянные не
задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+
на  заменяются
требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.
Можно показать, что постоянные 
вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну
из них.
Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая:
а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть
плоскости, ограниченную контуром 
;
б) р=1, а контур 
отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную
часть плоскости, ограниченную контуром 
.
Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если
считать  =0) в
случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.
Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если  =0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической
функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед
заданной функцией  .
Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го
порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также
называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем
Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение
задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
 , (8)
где  - производная
по направлению внутренней нормали в точке 
функции Грина  ,
характеризуемой следующими свойствами:
1.  , при  3 или
 , при  2,
где  - расстояние
между точками  и 
,  - площадь
единичной сферы в  , 
- регулярная в 
гармоническая функция как относительно координат 
, так и относительно координат 
;
2.  , когда  ,  .
Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция
Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле.
Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул
Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории
гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное
представление в виде формулы Вилля-Пуассона
 , (9)
являющейся обобщением формулы (8). Здесь 
- гармоническая мера множества 
в точке  . Отсюда
возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных
граничных функций  ,
при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой
ослабленной форме.
Например, если  -
область  с
достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция 
имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения
граничного условия лишь в точках непрерывности 
, для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется
ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так
называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области 
функцию  , зная
значения ее нормальной производной на границе С:
 (10)
и значение  в какой-либо точке  в области  .
Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя
нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х.
Функция  может
иметь на  конечное
число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка
предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:
Если функция 
гармонична в односвязной области 
и непрерывна вместе со своими частными производными в 
, то
 , (11)
где  - граница
области  обозначает
производную в направлении нормали к 
, а  - дифференциал
дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо
выполнения соотношения
 . (12)
Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве
единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область 
представляет собой полуплоскость (
z, > 0).
В дополнительном предположении непрерывности частных производных в 
решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной
гармонической функции.
Две гармонические в области 
функции  и 
, связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
Как мы знаем, для всякой функции 
гармонической в односвязной области 
, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию 
. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до
постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций 
сопряженных с  дает
формула:
 , (13)
где С – произвольная действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области 
интеграл (13) по контуру 
, определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
, (14)
где  - произвольные
целые числа, а  -
интегралы вдоль замкнутых контуров 
, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы 
:
 . (15)
Постоянные  называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.
Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
сопряженной гармонической функции 
, где  , 
носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.
Функции  и  , представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]:
 ,   (16)
имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции 
являются решением уравнения 
. (17)
Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции  .
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено. |
|
|
