 |
РУБРИКИ |
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле/td> |
,
.
Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных рассмотренных
областей решения задачи Дирихле (
) через 
и 
.
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле
для заданных областей.
Пусть 
, 
, 
- нормированная
функция дает конформное отображение канонической области 
плоскости 
на
соответствующую область 
плоскости 
. Простоты
ради будем считать, что 
.
В силу конформности отображения 
мы имеем, что 
всюду в 
и, как
легко видеть реальная (действительная) часть голоморфной в 
функции
равна 
на окружностях 
:
, (72)
где 
при 
, (
), (73)
, 
- угол наклона касательной к 
в точках 
,
соответствующих 
при отображении 
.
Область 
ограничена
гладкими кривыми типа Ляпунова 
, а в каждой точке 
контура области 
плоскости 
известен
угол наклона 
.
Здесь вещественные числа 
и комплексные числа 
, 
таковы для
конечной 
- связной
области, что
, 
, (
, 
). (74)
При этом будем считать, что 
- внешняя, а 
-
внутренние кривые, и будем считать, что 
, 
[5].
 |
|
следует, что функция 
регулярная, однозначная и эффективная в канонической области 
согласно равенству (64), представляется по интегральной формуле Шварца [5] в
форме Александрова-Сорокина в следующем виде:
. (75)
Функция 
регулярна
и действительные части на граничных компонентах 
принимают непрерывные значения 
, определяемые равенством (65), а 
- ядро определяется следующими формулами [5]:
, (76)
, (77)
|
1, при 
-1, при 
, с – вещественное число.
Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две
интегральные формулы Пуассона для 
- связных круговых областей 
; что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем
задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции внутри
канонической области 
, если известны ее значения на границах 
, 
- функция
полярного аргумента, дающая граничные значения 
.
, (78)
, (79)
где 
, 
, 
.
Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для 
.
Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить 
, то мы получим формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]:
, (
) (80)
, (
) (81)
Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить 
, то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
, (82)
, (83)
где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы
Вилля-Шварца для кругового кольца [2], 
- функция Вейерштрасса, 
- угол наклона касательной к 
в точке 
, 
, 
- периоды, с
– произвольная постоянная, 
(
).
Так как функция 
)
представляется быстро сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с
успехом использовать для приближенного решения соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) 
- задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные
формулы Дини-Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное
обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных
рассмотренных областей.
В случае единичного круга 
эта формула имеет вид[1, 9]:
, (84)
где действительная функция 
при 
, под 
понимается дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с –
произвольная постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
. (85)
Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости
рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная
аналитическая функция определяется с точностью до произвольного комплексного
постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
|
,
.
В случае кругового кольца 
, имеем
, (87)
|
|
, 
, 
.
Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-Шварца для
кругового кольца.
Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы получим
непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее решение
граничной задачи Неймана для кругового кольца:
|
,
,
где 
, 
, 
.
Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для любых (
) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы (70) и (71).
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
|
ограниченной окружностями 
, (
, 
0, 1, 2 и 
) на
многосвязную область 
плоскости 
,
ограниченную гладкими кривыми 
.
Если в каждой точке 
, где 
, контура 
области 
плоскости 
известен угол наклона 
касательной к 
, где 
, 
- внешняя, 
- внутренние, 
, 
.
Построим функцию 
дающую конформное отображение области 
на 
, где 
. тогда 
голоморфна
в 
и действительная
часть голоморфной функции 
равна 
на окружности 
, т.е.
, 
, (90)
где 
- угол наклона
касательной к 
в
точках 
соответствующих при отображении функцией 
.
Из существования отображающей функции следует, что функция 
в области 
согласно
(82) можно представить по формуле Шварца для многосвязных областей. Функция 
регулярна и однозначна в области 
и ее действительная часть на 
принимает непрерывные значения 
. Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция 
принимает вид:
, (91)
где 
, 
, 
, 
- заданная плотность по граничному условию (81), 
- ядро, определяемое следующими формулами:
, где:
;
|
;
;
; 
; 
.
; 
,
где 
ядра, зависящие от натурального параметра.
Определив 
, мы сможем из (82) найти 
:
, (93)
где А – произвольная постоянная, 
- определяется равенством (83). Отсюда интегрируя обе части (85) получим:
, (94)
(86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.
Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей имеет вид:
где А и В – постоянные, определяемые из нормировки функций: 
,
,
>0.
Если 
, то 
и 
- две
интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.
Если 
, то
|
,
где 
, 
(Шварц, 1869),
|
, 
(Вилля, 1921), (96)
, 
(Александров-Сорокин, 1972),
Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных
областей 
, а
формулы (88) – интегралами типа Шварца, а реальные и мнимые части от функции 
- интегральными формулами типа Пуассона.
Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца, и для
внешности 
и 
окружностей [4].
Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда 
- правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).
Замечание 1. Так как заданные функции 
- являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все
рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и для
приближенного решения соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели
только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями задачи:
Найти регулярное в области 
решения эллиптического уравнения
, (97)
удовлетворяющие на границе 
условию
, (98)
где 
- производная
по некоторому направлению, а 
- заданные непрерывные на 
функции, причем 
всюду на 
и
1. при 
, 
- задача Дирихле;
2. при 
, 
- задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если
направление 
совпадет с направлением по нормали.
Литература.
1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного
переменного". М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз.
ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных
круговых областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных
областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных
областей". СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.
7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970, стр.9-
34; 179-190; 224-229.
8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд. 6. М.
1956, стр.182-184.
9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа". М.-Л.,
1962, стр.584-645.
10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.
11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950.
12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов АФ".
Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с
особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-24.
15. Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения".
Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16. Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному отображению".
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. "Сингулярные и интегральные уравнения".
М. 1956.
18. С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19. Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967. стр.294.
20. Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М. 1962. стр.931-935.
21. М.Абрамович, И.Стиган. "Справочник по специальным функциям". М. "Наука",
1979. стр.442-445.
22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968. стр.120-143.
23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. "Формула Дини-Шварца для кругового кольца".
Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24. Н.И.Мусхелишвили. "Сингулярные интегральные уравнения". М. 1962. стр.245-
269.
|
|
© 2010 |
|