 |
РУБРИКИ |
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле/td> |
, регулярной в области, через значения 
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса 
, известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
, (
, 
) (18)
Полагая здесь 
, мы
найдем для 
чисто
вещественное значение 
, для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное
мнимое число 
:
, 
. (19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная
часть даст нам интеграл Пуассона для 
и мнимая же часть доставляет выражение 
через 
.
Для единичного круга 
, имеет вид:
, (20)
где 
, 
- представляет значение вещественной части искомой функции в точке 
.
б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга,
если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом
Пуассона:
, (21)
где 
- полярные
координаты точки, где ищется значение решения; 
- радиус окружности и 
- функция полярного угла 
, дающая граничные значения 
[9].
|
,
(
, 
)
Поэтому 
представима рядом:
(22)
где 
и 
- коэффициенты Фурье 
:
; 
; 
В центре окружности при 
мы получаем:
(23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в
центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой
окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности 
и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
, 
(
).
Покажем, что искомую функцию 
может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из
(1).
Пусть 
, а 
,
Функция 
,
гармоническая вне окружности 
, перейдет в функцию 
, гармоническую внутри круга радиуса 
, принимающую на его границе значения
.
По формуле (1) она при 
представима интегралом Пуассона:
.
Если в этом равенстве подставить вместо 
и 
их выражения
через 
и 
и заменить переменную интегрирования, положив 
, то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
, (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней 
и 
переменились
местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1)
только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22),
представляющей ее вне окружности:
. (25)
Если в (25) 
®
, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:
, (26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней
полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно
получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга 
плоскости 
на
верхнюю полуплоскость 
при помощи функции
|
Граничные значения на окружности 
перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в
виде [1]:
|
, (
) (27)
|
, а угол 
, который
образует прямая 
с
перпендикуляром 
к
оси 
, опущенным из
точки 
, имеем:
, 
и окончательно имеем:
. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции 
на окружности кольца 
мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла 
и обозначим их соответственно через 
и 
.
Сопряженная с 
гармоническая функция 
будет вообще говоря, не однозначной, и фкп 
будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть
разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм 
с вещественным коэффициентом:
, 
. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи –
задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула
Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного 
дано круговое кольцо 
, ограниченное окружностями
, 
,
где заданное положительное число 
<1.
Требуется найти регулярную и однозначную внутри области 
функцию 
, если
известны значения ее вещественной части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г.
(1869г) (п.1)
, (
, 
),
где с – действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности
определяется аргументом 
этой точки, так что 
представляет значение вещественной части искомой функции в точке 
.
Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
Обозначим через 
и 
значения вещественной части искомой функции 
в точках с аргументом 
на внешней, соответственно внутренней, границе 
.
Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход
от односвязной области к двусвязной.
Величина
,
где интеграл справа берется по окружности радиуса 
(
) с центром в точке 
, очевидно, не зависит от 
. Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла.
Отсюда, приближая вначале 
к 1, а замечая, что в интеграле можно
сделать требуемые предельные переходы, получим:
. (30)
Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами
проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
Искомая функция 
может быть разложена в ряд Лорана
. (31)
Мы найдем разложения обеих функций 
, 
в ряды Фурье. Из
этих разложений получаются коэффициенты 
в виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри
Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7].
, (32)
где с – произвольная вещественная константа, 
- произвольное положительное число, а чисто мнимое число 
находится с помощью равенства
, (33)
, 
и, наконец 
- функция Вейерштрасса.
Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца
для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии
Н.Ахиезера [7].
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
, (34)
где из (33) следует, что 
, где 
-
положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если
несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что 
можно выразить через 
с учетом граничных свойств:
,
, 
; (35)
, 
.
Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет
следующий окончательный вид:
, (36)
где с – постоянная.
Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной
формулой Анри Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса 
, 
и 
для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим
следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
1.
(37)
или
(38)
2. 
,
: 
, 
(39)
, 
|
|
© 2010 |
|