 |
РУБРИКИ |
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Диплом: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле/td> |
полинома 
возможны следующие частные случаи:
: 
, 
, 
.
|
,
,
где 
, 
, 
.
4.
(41)
где
;
; 
; 
.
5. 
, т.е.
, (44)
где (
),
, 
(45)
или
6. 
(46)
|
– эллиптическая функция Вейерштрасса 
.
Функция Вейерштрасса 
, (48)
так что 
.
Функция Вейерштрасса 
определяется с помощью равенства
.
Из этой формулы следует и
где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов,
отличную от точки 
.
§4. О некоторых применениях теории конформного
отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно
служит:
– как удобный аппарат для обозримого представления аналитических
решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции
Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева,
гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных
дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;
– для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического
продолжения;
– несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории
аналитических функций и сингулярных уравнений;
– исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций
различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов
математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.)
Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых
для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений
(АРДУ), описывается общей формулой:
(49)
где 
- ядро типа
Шварца, зависящее от связности данной области, 
- аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной
канонической круговой области 
, 
- заданная
плотность – вещественная функция в точках 
, 
контура
круговой области 
.
Вещественные 
и комплексные 
таковы, что 
:
, 
, (
, 
). (50)
По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение
дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей 
плоскости 
,
ограниченную замкнутыми кривыми 
типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке 
, 
, 
, 
- угол между
касательными; кривая замкнута и ограничена).
Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле
для области 
и
интегральные формулы Пуассона для 
:
(51)
. (52)
Из (52) получим:
|
;
.
где
, 
|
|
, 
, 
, 
, 
, 
[4];
В случае круга:
|
,
.
Круговое кольцо:
|
;
,
где 
- функция
Вейерштрасса, 
, 
, 
, 
- некоторые
постоянные, определяемые из нормировки отображений функций 
, 
, 
- периоды функции 
.
Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей 
, или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными
формулами Пуассона для соответствующих канонических областей 
.
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти
для многосвязных областей
Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей
найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.
Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный
интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных
областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для
конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу
Чизотти для заданных соответствующих областей.
1. Построим функцию 
, дающую конформное отображение 
на 
, где 
, 
; (
):
, (57)
где 
и 
- постоянные, 
определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей.
Пусть 
- регулярная
функция в 
. Так как
подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:
, то
(58)
С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
|
;
.
где 
и 
- постоянные (к=1,2).
Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных
многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти
для конечных многосвязных круговых областей.
Если найден 
и 
от известного интегрального выражения 
):
, т.е.
; (60)
,
то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных,
бесконечных) областей 
.
2. Если область 
- концентрическое круговое кольцо, то
, (61)
где 
- заданная
функция 
- функция
Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной
контурной форме.
Из (61) получим:
, (62)
, (63)
где 
, 
, 
, 
.
Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона.
Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную
формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать
интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей 
, дающие аналитической в 
функции 
через
нормальной производной ее действительной части на границе 
области 
и
интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение
функции 
,
реализующей конформное отображение области 
на ограниченную гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу,
дающую конформное отображение 
на 
через нормальную
(касательную) производную ее действительной (мнимой) части 
на границе 
,
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных
областей.
Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей
и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной
гармонической функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области 
на каноническую область 
и задача Дирихле для той же области эквивалентны (49), используем интегральный
метод Чизотти для соответствующих областей (50), (51).
Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в 
, найдем решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую
(гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию
(64)
удовлетворяющую в 
уравнению
(65)
и граничному условию
, 
, (66)
где 
.
Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей 
имеет следующий вид:
(67)
или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
;
, (68)
где 
и 
постоянные, определяемые нормировкой функции 
, 
- угол наклона
касательной 
в
точке 
,
соответствующей 
при отображении 
.
Пусть теперь 
-
каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух
кругов, .), а 
-
соответствующая область, ограниченная контуром 
.
Построим функцию 
,
дающую конформное отображение 
на 
. Причем будем
для простоты считать, что 
, 
.
В силу конформности отображения 
всюду в 
функция равна
; 
на 
(69)
, 
Следовательно, функцию 
можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца:
, 
, (
);
, 
, (
; (70)
, 
,
где 
- ядро Шварца для круга;
- функция Вейерштрасса;
- ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца;
- ядро для внешности двух окружностей;
- ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.
Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи
типа Дирихле для рассмотренных областей 
.
Для нахождения гармонической 
(или 
) в
произвольной односвязной области 
функций, достаточно знать 
или 
обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга 
:
или
.
2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной
(конечной) области 
через 
- решение
кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. 
и 
- интегральные
формулы Пуассона для кругового кольца (
):
|
|
© 2010 |
|