Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных

условиях освещения и(или) измененных[1]

оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство

порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации

изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий

регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного

объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне

при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной

и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад,

[1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для

применения к черно-белым изображениям[2] и

оказались достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность

разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в

задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего

цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах

цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности

в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного

освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных

(спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии

[12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными

чувствительностями

j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их

выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e

(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют

вектор , w

(×)=.

Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов

, lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал

назовем яркостью излучения e(×). Вектор

назовем цветом излучения e(×). Если

цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку

равенства и

эквивалентны, равенство

имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае

- произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e

(×) назовем белым и его цвет обозначим

если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы , и

, , удобно считать

элементами n-мерного линейного пространства

. Векторы fe, соответствующие различным

излучениям e(×), содержатся в конусе

. Концы векторов

содержатся в множестве

, где Ï - гиперплоскость

.

Далее предполагается, что всякое излучение

, где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями

все их выпуклые комбинации (смеси)

Поэтому векторы в

образуют выпуклый конус

, а векторы .

Если то и их аддитивная смесь . Для нее

. (1)

Отсюда следует

Лемма 1. Яркость fe и цвет j

e любой аддитивной смеси e(×) излучений e1

(×),...,em(×), m=1,2,... определяются яркостями и

цветами слагаемых.

Подчеркнем, что равенство

, означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и

, как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном

спектральном составе. Однако замена e(×) на

в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать

базовые излучения ,

для которых векторы

, j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений

непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными,

, j=1,...,n. В таком случае излучение

характеризуется лишь цветом

, j=1,...,n.

Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

, (1*)

в котором - координаты в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, -

, где ,

, - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e

j(×), i, j=1,...,n. Матрица

- стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений

неотрицательны и ,

j=1,...,n. При этом яркость

и вектор цвета ,

, j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются

координатами aj и цветами излучений

, j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального

состава излучения e(×).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых

излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение,

которому в (1*) отвечают равные координаты:

.

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj<0,

[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным"

в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0:

. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в

скалярное произведение

и векторы ,

биортогонально сопряженные с

: , i,j

=1,...,n.

Лемма 2. В разложении (1*)

, j=1,...,n,

. Яркость , где

, причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так

как , i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения

, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов

были координатами fe в некотором

ортонормированном базисе

. В этом базисе конус

. Заметим, что для любых векторов

и, тем более, для ,

[4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на

плоскости R2, или на сетке

, спектральная

чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке

; - излучение,

попадающее в точку

. Изображением назовем векторнозначную функцию

(2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое

пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X.

Цветное (спектрозональное) изображение

определим равенством

, (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций

лебеговского класса

функций . Класс

цветных изображений обозначим LE,n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент

называется цветным изображением, а условие

(2*)

условием физичности изображений f(×).

Если f(×) - цветное изображение (2), то

, как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е.

, .

Изображение ,

назовем черно-белым вариантом цветного изображения f

(×), а цветное изображение

, f(x)0, xÎX - цветом изображения f

(×). В точках множества Â={xÎX: f(x

)=0} черного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные

векторы из ,

удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом

цветного изображения f(×) будем также называть

цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х

ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX

, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b,

xÎX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов

в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного

класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его

регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в

частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально

изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения

освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием

, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения

в каждой точке при

неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке

у вектора f(x) может измениться длина, но направление

останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается

значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно

однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между

спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного

соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f

(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого

определим отображение A(×):

, ставящее в соответствие каждому вектору цвета

подмножество поля зрения

в точках которого изображение

, имеет постоянный цвет

.

Пусть при рассматриваемом изменении освещения

и, соответственно, ;

предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет

преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве

A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j.

Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство

влечет . Если

- самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах

A(j¢) и A(j) цвет изображения

может оказаться одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и

т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно

преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять

изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f(×)

на удобно ввести

частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)

, 2) ,

, то ,

; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с

условием физичности), а именно,

, если . Отношение p

интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2],

а именно,

означает, что изображения f(×) и g

(×) сравнимы по форме, причем форма g(×)

не сложнее, чем форма f(×). Если

и , то f

(×) и g(×) назовем совпадающими по

форме (изоморфными), f(×) ~ g

(×). Например, если f(×) и g

(×) - изображения одной и той же сцены, то g

(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее

(подробнее, детальнее), чем f (×), если

.

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений

, если между множествами A(j),

и A¢(j¢),

существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция

, такая, что A¢(j¢(j))= A(

j),, причем

, если . В этом

случае равенства и

эквивалентны, и

изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же не взаимно

однозначно, то A¢(j¢)=U A(

j) и . В этом

случае равенство

влечет (но не

эквивалентно) ,

передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в

.

Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f

(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b

, xÎX. Если преобразование

- следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно,

. Аналогично, если f(×), g(×)

- изображения одной и той же сцены, но в g(×),

вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то

. Пусть F - некоторая полугруппа преобразований

, тогда для любого преобразования FÎF

, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении

f(×), то они, тем более, не будут отражены в g

, форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в

(черта символизирует замыкание в

). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем

минимальное линейное подпространство

, содержащее .

Если считать, что

для любого изображения

, то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости

в в том смысле,

что .

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных

классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть

охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения

X в виде

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5