Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции

. Выберем произвольно попарно различные векторы

из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn

. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества

, j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными

пересечениями

множеств из .

Последовательность соответствующих разбиений X

, i=1,...,N(q), q=1,2...

-измеримы и

является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах

разбиения поля

зрения X.

Задано разбиение

каждом Ai,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс

изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств

поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями

такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

(17)

где .

Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X,

- индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу

наилучшего в

приближения изображения

изображениями (17), не требуя, чтобы

(18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения

изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из

, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из

заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X

, (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по достигается при

, (20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный

оператор

. (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы

на сфере в R

n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном

векторе yi оператора Фi,

отвечающем максимальному собственному значению

>0,

,

и равен , т.е.

. Следовательно, максимум в (22) равен

и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое

)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения

изображениями g(×)

(17) является изображение

(24)

Операторы ,

i=1,...,N, и -

нелинейные (зависящие от f(×)

) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы

на линейное подпространство

, натянутое на собственный вектор

оператора Фi (23), отвечающий наибольшему

собственному значению ri,

; (25)

П проецирует в

изображение

на минимальное линейное подпространство

, содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из

(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф

i (23). Поскольку Фi

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные

значения (23) разрешима, все собственные значения Фi

неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N,

и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f

(×):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П

i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата

однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Ф

i , отвечающий максимальному собственному значению ri

. Чтобы определить

следует решить задачу на собственные значения для оператора

:

.

Поскольку rank=1,

имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно

проверить, равно ri, и ему соответствует единственный

собственный вектор fi. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для

n

Лемма 4. Для любого изображения

решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и

является элементом

.

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до

положительного множителя) собственный вектор fi

оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri

, можно выбрать так, чтобы

, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если

то согласно (23) ,

поскольку включение

означает, что

; отсюда и из (25) получим, что

,i=1,...,N, а поэтому и в (24)

.

Убедимся в неотрицательности

. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором

, выходной сигнал i-го детектора в точке

(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид

, p=1,...,n,

где , .

Так как матрица

симметрическая и неотрицательно определенная (

) она имеет n неотрицательных собственных значений

, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов

, а поскольку матричные элементы

, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение

- алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно

выбирать неотрицательным:

. Следовательно,

вектор fi определен с точностью до

положительного множителя

, . n

Замечание 4.

Если , т.е. если

аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения

имеет постоянный цвет, то в теореме 3

, .

Наоборот, если , то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1

,....,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств

A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком

смысле

изображения (17) есть множество решений уравнения

,, (27)

где , fi

- собственный вектор оператора Фi:

, отвечающий максимальному собственному значению ri,

i=1,...,N . В данном случае

, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения

, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения

(17).

Заданы векторы цвета j1,..., jq,

q и оптимальные распределения яркостей

[10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x

ÎX, в которых выполняется равенство

могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или

Aj.

Пусть - разбиение , в котором

(32)

а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием

(33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

, (34)

где - индикаторная

функция множества Ai (31), i=1,...,q и F

-оператор, действующий в

по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

(35)

имеет решение

(36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

, (37)

где - индикаторная функция множества

, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F

+: Rn-> Rn, действующий

согласно формуле

(39)

где

, так что ,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в

приближения изображения

заданные цветами j1,..., jq

q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения

приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами

(38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) -

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j

1,..., jq на некоторых множествах положительной

оператор (34),

формой такого изображения является оператор F+ (37).

Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям

+g(×)=g(×), те из них, у которых m

(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более

простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с

точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности,

преобразования яркости. Речь идет о форме изображения

, заданного распределением цвета

, при произвольном (физичном) распределении яркости, например,

. Для определения формы

рассмотрим задачу наилучшего в

приближения изображения

такими изображениями

, (41)

Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством

, (42)

в котором , где . Невязка приближения

, (43)

( !) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета

, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор на .

Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть

j(×) и только такое изображение содержится в

и является неподвижной точкой оператора

:

g(×) = g(×).

(#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j

(×), не представлены на изображении f(×) = f

(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f

(x)=0, xÎX, будем считать, что

- форма любого изображения f(x) = f(x)j

(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие

изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),

удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f

(×).

Замечание 5. Пусть j1,..., jN

- исходный набор цветов,

, A1,...,AN - соответствующее оптимальное

разбиение X, найденное в теореие 4 и

, (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

, (24*)

если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме

3. Наоборот, если A1,...,AN - заданное в теореме

3 разбиение X и f1,...,fN -

собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)

соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f

1,...,fN

и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить ji

как цвет fi в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A

i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N

, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно

повысить как путем перехода к более мелкому разбиению

, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai,

i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5