Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

в котором в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×)

изображениями этого класса предстоит найти

, векторы при любом

i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по

. После этого для каждого i=1,...,N векторы

должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть

ортогональные собственные векторы оператора Фi (23),

упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi -

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения

неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они

образовали ортогональный базис в Rn. Пусть P

i - ортогонально проецирует в Rn на линейную

оболочку

собственных векторов

и

[Pi Фi Pi] - сужение оператора P

i Фi Pi на

. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi P

i]

, где

- j-ое собственное значение оператора

(см., например, [10]). Пусть

. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10],

, откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом

случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f

(×) изображениями (17*) имеет вид

,

Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f

(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы

, и надлежит определить измеримое разбиение

и функции , как

решение задачи

(30)

При любом разбиении

минимум в (30) по

достигается при ,

определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

(31)

где точки , в

которых выполняется равенство

могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в

, либо в . Это

соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение

,

где ортогональный проектор

определен равенством (25), а

- индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка

наилучшего приближения равна

. n

Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество

в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения

, не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия

наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при

котором должны быть найдены

и ci0 , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(×)

определим множества

равенствами (32), оператор П - равенством (24),

- равенствами (25). Тогда

,

определено равенством (32), в котором

- собственный вектор оператора Фi (23),

отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23)

, наконец,

будет дано равенством (20), в котором

, где -

собственный вектор оператора

, отвечающий наибольшему собственному значению

; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании

: Для изображения f(×) зададим

и по теореме 5 найдем

и , затем по

теореме 3, используя

найдем и

. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по

найдем и

и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений

очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность

, k=1,2,.... монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К

сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности

.

Формы (10) и (9) удобно задавать операторами Пf и П*f соответственно.

Теорема 7. Форма

в широком смысле изображения

определяется ортогональным проектором П*f :

,

при этом и .

Доказательство. Так как для

, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения

рассмотрим выпуклую задачу на минимум

, решение которой определяется условиями (см., например, [11])

. Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение n

Замечание. Так как

, где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке

, причем fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно

цвет реальных

изображений непременно имеет неотрицательные

, то для реальных изображений

, условия и

, эквивалентны. Если же для некоторого

, то условие не

влечет . Заметим

также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию

, всегда .

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k

детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне

видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое

излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое

изображение можно представить разложением

(40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению

с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения

изображениями f(×) , в которых f1(

×) - любая неотрицательная функция из

, j1(×) - фиксированное векторное поле цвета,

f2(×) - термояркость, j2(

×) - термоцвет в точке

. Форма П*f видимой компоненты f

(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П

*f действует фактически только на "видимую компоненту"

g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда,

когда известно множество возможных преобразований j2(

×) f2(×).

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным

геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д.

Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения

получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных

и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

Можно ли считать f(×) и g(×)

изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями

яркости, например, наличием теней?

В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а

именно, f(×) и g(×) можно считать

изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета

, для которого v(j(×)) содержит f(×) и

g(×). Если

, и , то, очевидно,

существует , при

котором f(x)Îv(j(×)), g(x

)Îv(j(×)), а именно,

, , если

, , если

, и, наконец, -

произвольно, если

.

На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать

задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать

g(×) изображением сцены, представленной изображением f

(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f

(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×))

можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, -

наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g

(×) и f(×) с точностью до преобразования

распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g

(×) по сравнению с распределением цвета f(×),

представлены в .

2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и

пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f

(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации,

например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава

освещения?

Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×),

определенная в теореме @, П* - форма f

(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если

. Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися

условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых

объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут

представлены на .

3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX -

подмножество поля зрения, cA(×) - его индикатор, c

A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения

f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент

сцены, изображенной на f(×). Пусть g

(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в

частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по

сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на

g(×) фрагмент изображения, представляющий на f

(×) фрагмент сцены и совместить его с cA(×)f

(×).

Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно

моделировать группой преобразований R2->R2,

преобразование изображения

назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на

h изображения g(×) в “окне” A:

(100)

причем, поскольку

где то в (100)

- ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах

поля зрения X.

Если кроме цвета g(×) может отличаться от f

(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при

неизменном распределении цвета и

- форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения

фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×),

соответствующий фрагменту cA(×)f

(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h

*, совпадает с cA(×)f(×)

с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это

означает, что

.

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных

видны” в остальных.

Рассмотрим два изображения

и . Определим форму

в широком смысле

как множество всех линейных преобразований

: (A -

линейный оператор R2->R2, не зависящий от

xÎX). Для определения проектора на

рассмотрим задачу на минимум

. [*]

Пусть ,

, тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A*AS -

2trAB ~

. Ее решение

(знаком - обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению

e(×), je - его цвет; j1,j2,j

3, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец

вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, -

Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983,

т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, -

Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред.

Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, -

Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image

Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для

морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное

исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля

изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс.

2456-2458.

[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для

морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации

сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических

изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-

хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using

Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE -

Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp.

163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая

школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения.

М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института,

вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа

цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор fe

будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn.

[5] Если

- более детальное изображение , то некоторые A(j) могут

“ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢),

на каждом из которых цвет

постоянный, но различный на разных подмножествах A¢(

j¢). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного

изображения f(×), v(f(×)) не может

содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения

считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций принадлежащих .

[8]Одна и та же буква F

использована как для оператора

, так и для оператора

. Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9]Если m(As)=0, то в

задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As

можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки

s.

[10]Векторы j1,..., j

q выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих

интерес.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5