Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

здесь -

индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi,

i=1,....,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых

функции ,

, j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку

согласно лемме 2

, (3)

то цветное изображение fe(×), такого

объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и

цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N.

Для изображения ,

где , также

характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai

, если , -

непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость

постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для

всякого изображения

, если не зависит

явно от .

Для такого изображения примем следующее представление:

, (4)

его черно-белый вариант

(4*)

на каждом Ai имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

(4**)

не меняется на Ai и равен , i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности

(2*), , то

форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi

конус:

. (4***)

v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном подпространстве

, (4****)

которое назовем формой a(×) в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(×), у которого не

обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai

,i=1,...,N, определим как линейное подпространство

, натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F -

класс преобразований

, определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках

xÎX; здесь F - любое преобразование

. Тот факт, что F означает как преобразование

, так и преобразование

, не должен вызывать недоразумения.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма

a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение

яркости или(и) цвета на различных множествах Аi,

i=1,......,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в

одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает

меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание

касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {Аi} - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :

- постоянную яркость и цвет , если и только если выполняется равенство (4);

- постоянный цвет

, если и только если в (3)

;

- постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только

если в (3)

не зависит от ,

i=1,....,N.

Доказательство . На множестве Ai яркость и цвет

изображения (3) равны соответственно[6]

, , i=1,....,N.

Если выполнено равенство (4), то

и от

не зависят. Наоборот, если

и , то и

, т.е. выполняется (4).

Если , то цвет

не зависит от .

Наоборот, пусть

не зависит от . В

силу линейной независимости

координаты j(i)(x) не зависят от

, т.е. и,

следовательно,

где - яркость на

A i и

. Последнее утверждение очевидно n

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности

изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего

электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для

регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения,

покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное

излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как

правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет

информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в

значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в

задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет

понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное

i=1,...,N, поля зрения X.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

, (5)

где, - индикаторная функция Ai, , функция gi(×) задает распределение яркости

(6)

в пределах Ai при постоянном цвете

, i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,....,N,

удовлетворяющими условиям

i=1,....,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно

принять условие нормировки

, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета.

С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается

функцией а цвет

на Ai равен

(7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

(8)

,

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах

каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее,

чем форма f(×) (5), поскольку в изображении

на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут

совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f

(×) (5). Совпадение цвета

на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению

формы изображения

по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения

, имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N,

считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма

остальных не сложнее, чем форма f(×). Если

, то, очевидно, .

Если в (8) яркость

, то цвет на A

i считается произвольным (постоянным), если же

в точках некоторого подмножества

, то цвет на A

i считается равным цвету

на , i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи

все изображения ,

форма которых не сложнее, чем форма

, должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у

то следует потребовать, чтобы

, в то время, как яркости

остаются произвольными (если

, то цвет на A

i определяется равным цвету f(×) на A

i, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения

f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения

яркости при

неизменном цвете j(x) в каждой точке

. Множество, содержащее все такие изображения

(9)

назовем формой в широком смысле изображения

, у которого f(x)¹0, m-почти для всех

, [ср. 2]. является

линейным подпространством

, содержащем любую форму

, (10)

в которой включение

определяет допустимые значения яркости. В частности, если

означает, что яркость неотрицательна:

, то - выпуклый

замкнутый конус в ,

принадлежащий .

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе

методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как

оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление

формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего

приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)

изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения

в том случае, когда считается, что

для любого преобразования

, действующего на изображение

как на вектор в

каждой точке и

оставляющего

элементом , т.е.

изображением. Форма в широком смысле

определяется как оператор

наилучшего приближения изображения

изображениями

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

(10*)

а - оператор

наилучшего приближения элементами множества

, форма которых не сложнее, чем форма

. Характеристическим для

является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для

любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых

постоянны на подмножествах разбиения

поля зрения X.

Задано разбиение

. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в

цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в

которых считается заданным разбиение

поля зрения X и требуется определить

из условия

(11)

Теорема 1. Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

. (13)

Оператор

является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)

изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах

Черно-белый вариант

(4*) цветного изображения

(4) является наилучшей в

аппроксимацией черно-белого варианта

цветного изображения f(×) (2), если цветное

изображение (4)

является наилучшей в

аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).

В точках множества

цвет (4**)

наилучшей аппроксимации

(4) цветного изображения f(×) (2)

является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)

излучений, которые попадают на

.

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума

положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный

проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная

проекция f(×) на

. Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k

следует заменить на xÎX. ■

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения

ортогональные проекторы

и определяют

соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и

, ибо , и

для разных

,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует

считать проектор

на выпуклый замкнутый конус

(4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор

на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что

[2]. Дело в том, что оператор

определяет форму

изображения (4), а именно

- множество

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5