РУБРИКИ

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

собственных функций оператора Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Поскольку Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

f(×) - наилучшее приближение изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

изображениями из Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

для любого изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

из Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и только для

таких Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Поэтому проектор Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

,[7] [2]. И проектор Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения

элементами Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

оператор наилучшего в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

приближения злементами выпуклого замкнутого (в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ) конуса Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, то Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Иначе

говоря, для определения наилучшего в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

приближения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

элементами Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений можно

вначале найти ортогональную проекцию Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, а затем Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

спроецировать в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. При этом конечномерный проектор Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

для каждого конкретного конуса Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач

морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь

проектора П .

Форма в широком смысле Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, последнее, в свою очередь определяется изображением

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

если векторы Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

попарно различны. Если при этом Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, то форма в широком смысле Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

может быть определена и как оператор П ортогонального

проецирования на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в

широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное

подпространство Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

(10*) для произвольного изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -

множество значений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - измеримое

разбиение X , порожденное Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, в котором Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -

подмножество X , в пределах которого изображение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, если Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Однако для найденного разбиения условие Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить

ортогональный проектор П на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Покажем, что П можно получить как предел последовательности

конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

можно представить в виде предела (в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (*)

где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикатор множества Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , принадлежащего измеримому разбиению Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую

последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - C - измеримо,

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, найдется i=i(j),Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, такое, что Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

;

- минимальная s-алгебра, содержащая все Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- исчерпывающая последователь-ность разбиений X и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- то множество из Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

которое содержит Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Тогда для любой C-измеримой функции Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и m-почти для всех Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П

произвольного изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -

минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, т.е. пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- прообраз борелевского множества Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, B - s-алгебра борелевских множеств Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C

на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и выберем эту,

зависящую от Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

исчерпывающую последовательность (Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -

исчерпывающая последовательность разбиений X, причем Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- минимальная s-алгебра, содержащая все Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и П(N) - ортогональный проектор Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, определенный равенством Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Тогда

1) для любого Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -измеримого изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и почти для всех Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

2) для любого изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений при Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ), где П - ортогональный проектор на Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и

определения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Для

доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)

- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то

последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно

неубывает: Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П.

Так как Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - множество

всех Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -измеримых

изображений и их пределов (в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

), а в силу леммы (*) для любого Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

-измеримого изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , то для любого

изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и для любого Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, ибо Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -измеримо,

N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая

последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется

определить разбиение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно

значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу

приближения цветного изображения f(×), в которой

задано не разбиение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

поля зрения X, а векторы Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , и требуется

построить измеримое разбиение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

поля зрения, такое, что цветное изображение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- наилучшая в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

аппроксимация f(×). Так как

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, для которых Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

=1,2,...,q, или, что то же самое, Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены

к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу.

Учитывая это, условимся считать, что запись

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа,

рассмотрим разбиение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, в котором

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор

F, действующий из Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений по формуле Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , i=1,...,

q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы

включения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.

[8]

Теорема 2. Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - заданные векторы Rn. Решение задачи

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

наилучшего в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

приближения изображения f(×) изображениями Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

имеет вид Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -

индикаторная функция множества Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Множество Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

определено равенством (15). Нелинейный оператор Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2

=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом

варианте, то есть заданы числа Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , i=1,...,q. Тогда

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными

гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что

соответствующее приближение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

изображения f(×) инвариантно относительно

произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

), в частности, относительно образования теней на f(×)

.

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму

изображения, принимающего значения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

соответственно на измеримых множествах Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

) точкой F: Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

если Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , все они

изоморфны между собой. Если некоторые множества из Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую

форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

является множество всех изображений, принимающих заданные значения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

на множествах положительной меры Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

любого разбиения X, и их пределов в Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего

приближения изображения f(×) изображениями Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, в котором требуется определить как векторы Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, так и множества Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

так, чтобы

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

.

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn

(15), П - ортогональный проектор (13), Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Тогда необходимые и достаточные условия Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

суть следующие: Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, где Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых

в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- исходные векторы в задаче (14*), Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор

наилучшего приближения и Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

оптимальные векторы Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Согласно выражению (13) Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)

обеспечит не менее точное приближение f(×), чем

F(1): Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. Выберем теперь в теореме 2 Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

, определим соответствующее оптимальное разбиение Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

. На следующем шаге по разбиению Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

строим Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и

оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.