Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

собственных функций оператора

. Поскольку

f(×) - наилучшее приближение изображения

изображениями из ,

для любого изображения

из и только для

таких -

. Поэтому проектор

можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор

можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения

элементами и

, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если

оператор наилучшего в

приближения злементами выпуклого замкнутого (в

и в ) конуса

, то . Иначе

говоря, для определения наилучшего в

приближения

элементами можно

вначале найти ортогональную проекцию

изображения на

, а затем

спроецировать в на

. При этом конечномерный проектор

для каждого конкретного конуса

может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач

морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь

проектора П .

Форма в широком смысле

(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением

, последнее, в свою очередь определяется изображением

,

если векторы

попарно различны. Если при этом

, то форма в широком смысле

может быть определена и как оператор П ортогонального

проецирования на ,

определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в

широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное

подпространство

(10*) для произвольного изображения

. Пусть -

множество значений

и - измеримое

разбиение X , порожденное

, в котором -

подмножество X , в пределах которого изображение

имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором

, если .

Однако для найденного разбиения условие

, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить

ортогональный проектор П на

. Покажем, что П можно получить как предел последовательности

конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение

можно представить в виде предела (в

) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

(*)

где - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую

последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- - C - измеримо,

;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого

, найдется i=i(j),

, такое, что

;

- минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть

Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П

произвольного изображения

. Пусть -

минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо

, т.е. пусть , где

- прообраз борелевского множества

, B - s-алгебра борелевских множеств

. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C

на и выберем эту,

зависящую от ,

исчерпывающую последовательность (

- измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть

, -

исчерпывающая последовательность разбиений X, причем

- минимальная s-алгебра, содержащая все

и П(N) - ортогональный проектор

, определенный равенством

,

Тогда

1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и

определения . Для

доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)

- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то

последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно

неубывает:

и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П.

Так как - множество

всех -измеримых

изображений и их пределов (в

), а в силу леммы (*) для любого

-измеримого изображения

, то для любого

изображения

и для любого

, ибо -измеримо,

N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая

последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется

значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу

приближения цветного изображения f(×), в которой

задано не разбиение

поля зрения X, а векторы

в , и требуется

построить измеримое разбиение

поля зрения, такое, что цветное изображение

- наилучшая в

аппроксимация f(×). Так как

, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки

, для которых ,

=1,2,...,q, или, что то же самое,

=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены

к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу.

Учитывая это, условимся считать, что запись

, (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа,

рассмотрим разбиение

, в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор

F, действующий из

в по формуле

, , i=1,...,

q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы

включения и

, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.

[8]

Теорема 2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в

приближения изображения f(×) изображениями

имеет вид ,

где -

индикаторная функция множества

. Множество

определено равенством (15). Нелинейный оператор

, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2

=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом

варианте, то есть заданы числа

, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию

, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными

гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что

соответствующее приближение

изображения f(×) инвариантно относительно

произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например

), в частности, относительно образования теней на f(×)

.

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов

оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму

изображения, принимающего значения

соответственно на измеримых множествах

(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в

) точкой F: ,

если , все они

изоморфны между собой. Если некоторые множества из

- пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую

форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения

является множество всех изображений, принимающих заданные значения

на множествах положительной меры

любого разбиения X, и их пределов в

.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего

приближения изображения f(×) изображениями

, в котором требуется определить как векторы

так, чтобы

.

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn

(15), П - ортогональный проектор (13),

, где .

Тогда необходимые и достаточные условия

суть следующие:

, где ,

.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых

в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть

- исходные векторы в задаче (14*),

- соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор

наилучшего приближения и

- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения

. Согласно выражению (13)

, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)

обеспечит не менее точное приближение f(×), чем

F(1):

. Выберем теперь в теореме 2

, определим соответствующее оптимальное разбиение

и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда

. На следующем шаге по разбиению

строим и

оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5