РУБРИКИ

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

например, у Герона Александрийского находим:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Для обозначения высших степеней употреблялись позже составные выражения

"биквадрат" или "квадрато-квадрат" для четвертой степени, или "кубоквадрат"

для пятой и т.д. Современные названия предложены голландским ученым

С.Стевином (1548-1620), который обозначал степени в виде 2, 3 и т.д. Он же

начал систематически употреблять дробные показатели степени для обозначения

корней.

В настоящее время для извлечения корня употребляется два обозначения: знак

радикала и дробные показатели. Предпочтительнее использовать обозначения со

знаком радикала - обозначения с дробными показателями являются скорее данью

традиции. Степени с отрицательными показателями ввел английский математик

Д.Уоллис.

Неравенства встречаются в математике еще в глубокой ревности. Рассмотрим

некоторые из них.

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

меньше их среднего арифметического (Евклид).

2. Архимед установил неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

3. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - наибольший квадрат, содержащийся в числе, а Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - остаток, то

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства при Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства при Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

(Аль-Кальсади, Трактат "Раскрытие тайн науки Габар", XV век).

Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к

понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так,

иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, они не содержатся в поле Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, и поле Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства является

расширением поля Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

2. Неравенства и их основные свойства

Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.

При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их

возрастания. Ясно, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Но Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , так как

точка, изображающая Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, расположена правее точки, изображающей Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения

неравенства:

Пусть Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства иДиплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной

числовой прямой, направленной слева направо. Тогда Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

в том и только том случае, когда точка, изображающая число Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, лежит правее точки, изображающей число Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

.

Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим правилом,

если принять понятие положительного числа за основное:

Пусть Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- какие-нибудь два действительных числа. Тогда Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

в том и только том случае, когда Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

положительна. Поэтому неравенство Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

употребляется для символической записи утверждения, что число Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное

положительному числу относительно точки Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

отрицательно, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

положительно. Запись Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

употребляется для обозначения утверждения, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

отрицательное число.

Число нуль обладает тем свойством, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства для любого действительного числа Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Итак, числа Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства могут относиться друг к другу следующим образом:

1). Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

2). Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

3). Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.

Теорема 1. Если и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

В самом деле,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства

транзитивности: точка Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

на числовой прямой расположена левее точки Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, а точка Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства левее

точки Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , при этих

условиях точка Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

расположена левее точки Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

.

Теорема 2. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. при

изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на

обратный.

Действительно,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Следовательно, по определению Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Геометрическая иллюстрация:

Теорема 3. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. обе части неравенства можно умножить на положительное число.

Действительно,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Но Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Следовательно, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Итак, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на

противоположный.

Действительно,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Но Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , следовательно, и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Теорема 5. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в

равенство.

Действительно,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Теорема 6. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - произвольное

число, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. к

обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

Действительно, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , где Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Следовательно, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , а так как Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , имеем: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Теорема 7. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Предварительно напомним, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

есть обратное число, т.е. такое, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Имеем Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Но, с

другой стороны,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Следовательно, и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства ,

так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой

множитель положителен. Значит Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Теорема 8. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. квадрат

любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения

умножения положительных и отрицательных чисел.

Теорема 9. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

Имеем Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства ,где Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Следовательно,

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

или

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

где Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Как легко показать, разность Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)

Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства положительны, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на

неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и

требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)

Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - положительны, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Действительно, здесь Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- четное число, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , а Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , т.е. четная

степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Теорема 14. Если Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- нечетное число, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.