Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

существует единственный корень

- й степени из .

Этот корень называется арифметическим корнем

- й степени из числа и обозначается

.

Итак:

1. - четное, , - арифметический корень - й степени из неотрицательного числа .

2. - нечетное,

- любое действительное число,

- арифметический корень

- й степени из действительного числа

.

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не

вызывают затруднений (

имеет тот же знак, что и

), Основной случай для исследования - когда

- четное.

Пусть функция -

иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического

выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического

выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида

. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства,

приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень.

Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и

иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении

иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в

степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение

имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения

исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное

множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем

подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально

невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа,

заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом

преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное

исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих

его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное

исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную

степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее

тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства

неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести

его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной

части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть

неравенству вида

или , где

и - рациональные

алгебраические выражения относительно переменной

. Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

(1)

или

(2),

называется уединением радикала.

Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. .

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. .

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого

неравенства является в то же время решением неравенства

(при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства

(поскольку ).

Значит, неравенство

(3)

равносильно системе неравенств:

где и

следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя

неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и

принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на

указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате

получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида равносильно системе неравенств:

Аналогично для неравенств вида .

Теорема 2. Неравенство вида равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

(4)

Оно равносильно системе

(5)

Но в отличие от неравенства (3)

может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому,

рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев

и , получим

совокупность систем:

В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как следствие

двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего неравенства

можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).

Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно является

следствием последнего неравенства системы.

Теорема 3. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Аналогично.

Теорема 4. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Неравенства вида ,

, ,

являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда

.

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме

1 оно равносильно системе неравенств:

Так как квадратный трехчлен

имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он

положителен при всех значениях

. Поэтому решения последней системы таковы:

.

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем

неравенств

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность

Ответ: и .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если и .

Итак, решением неравенства является исключая .

Ответ: .

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е.

. Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей

неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не

содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень

эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные

преобразования:

При при возведении в степень знак не изменится, т.к. , . Значит при .

может быть любое,

т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и

положительная функция.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

или

Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ: .

5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и

более радикалов четной степени

Пусть дано иррациональное неравенство

(1)

В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при возведении

в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные выражения

будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные

преобразования:

(2)

(3)

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств

и далее

откуда получаем решение неравенства .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на

положительное выражение

(т.к. мы рассматриваем всегда

). Проведем затем эквивалентные преобразования:

или

заменяем неравенство равносильной системой неравенств:

откуда получаем

решением последнего неравенства системы является объединение

и , а решением всей

системы, а в силу равносильности проведенных преобразований и исходного

неравенства, будет луч

.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая и правая его части были

неотрицательными

всегда

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8