Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Рассмотрим промежуток

. Возьмем значение х = а из этого промежутка и подставим в данное

неравенство. Получим:

- истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток

принадлежит решению. Любое значение переменной х, взятое из промежутка

знакопостоянства

, обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при

имеем ложное числовое неравенство

.

Следовательно, промежуток не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x < 0, в

данное неравенство, получим истинное числовое неравенство

. Значит, числовой промежуток x < 0 принадлежит решению. Итак, при a > 0

решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0 и

.

б) если a < 0, то

и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства

. Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно

истинное в промежутках

и x > 0 и тождественно ложное в промежутке

. Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух

числовых промежутков

и x > 0.

в) при а = 0 .

Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и x > 0, каждый из

которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ: 1) при

2) при .

Пример 2. Решить неравенство

ОДЗ: 5х – 7 ≥ 0

log57 ≤ x < +∞

Возводим обе части в квадрат:

решением последнего неравенства является промежуток х ≤ 2. Учитывая ОДЗ

получаем решение исходного неравенства log57 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log57 ≤ x ≤ 2.

13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».

14. Классические неравенства.

Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства.

Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты,

работающие в этой области математики.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b

не меньше их среднего геометрического, т. е.:

(1)

Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.

Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало

хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив a = c2, b = d

2, что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b

неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для

произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий

вид:

, (2)

где с и d – произвольные действительные числа.

Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда

,

что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что

с2 + d2 – 2cd ≥ 0 (3)

Но с2 + d2 – 2cd = (с – d)2 , значит неравенство (3) равносильно

(с – d)2 ≥ 0 (4)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что

соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства (3),

(2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том

и только в том случае, когда c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда

a = b.

Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого

сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции у = х, изображенный на рисунке.

Пусть S и Т точки прямой у = х с координатами (с, с) и (d, d). Рассмотрим

также точки Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то

длина отрезка PS также равна с. Поэтому площадь ∆OPS, полупроизведение

длин его основания и высоты равна

.

Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ∆OPS и

∆OQT, так что

SOPS + SOQT ≥ SOPRQ (5)

Так как площадь прямоугольника OPRQ – произведение длин его основания и

высоты – равна сd, то при помощи алгебраических символов соотношение (5)

можно записать так:

Кроме того, легко видеть, что равенство достигается только тогда, когда

площадь ∆TRS равна нулю, что возможно только при условии совпадания

точек S и Т, т. е. когда с = d.

Теорема 2. Среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a, b и

с не меньше их среднего геометрического, т.е.

(1)

Равенство достигается в том случае и только том случае, когда а = b = с.

Доказательство: пусть а = х3, b = у3, с = z3.

Подставим эти значения в неравенство (1):

, (2)

что равносильно неравенству

x3 + y3 + z3 – 3xyz ³ 0 (3)

Мы докажем теорему 2, если установим, что неравенство (3) имеет место для

произвольных неотрицательных чисел x, y, z.

x3 + y2 + z2 – 3xyz = (x + y + z + )(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) (4)

x + y + z – неотрицательное число, покажем, что

x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz ³ 0 (5)

Выпишем три неравенства x2 + y2 ³ 2xy, x2

+ z2 ³ 2xz, y2 + z2 ³ 2yz (эти

неравенства истинны по теореме 1) и сложим их почленно:

2(x2 + y2 + z2) ³ 2(xy + xz + yz)

это неравенство равносильно неравенству (5). Равенство достигается тогда и

только тогда, когда x = y = z.

Мы получили, что в (4) левая часть ³ 0, т.е. неравенство (3) имеет

место. Но неравенство (3) равносильно (1). Теорема доказана. Условие x = y =

z равносильно условию a = b = c.

Теорема будет верна и для n чисел, примем ее без доказательства.

Теорема 3. Среднее арифметическое любых n неотрицательных чисел а

1, а2,.аn не меньше их среднего геометрического,

т.е.

Равенство достигается в том и только том случае, когда а1 = а2 = аn.

Неравенство Коши.

а) Двумерный вариант:

(1)

для любых неотрицательных чисел a, b c, d.

Доказательство. Так как a, b, c, d – неотрицательные, то ac + bd ³ 0 и

имеем право возвести в квадрат обе части неравенства (1):

(a2 + b2)(c2 + d2) ³ (ac + bd)2 (2)

В первую очередь отметим, что неравенство a2 + b2 ³

2ab, на котором основывались все выводы в предыдущих теоремах, является простым

следствием тождества a2 – 2ab + b2 = (a – b)2,

верного для всех действительных чисел. Рассмотрим произведение

(a2 + b2)(c2 + d2)

Произведя умножение, получим многочлен a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2,

Совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении (ac +

bd)2 + (bc – ad)2

Отсюда получаем

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc – ad)2 (3)

Так как квадрат (bc – ad)2 неотрицателен, то из (3) следует неравенство

(a2 + b2)(c2 + d2) ³ (ac + bd)2

для любых действительных чисел a, b, c, d.

Мы получили неравенство (2) – неравенство Коши для любых действительных чисел

a, b, c, d.

Для любых неотрицательных чисел a, b, c, d неравенство Коши примет вид (1).

Из соотношения (3) вытекает, что равенство в (2), а значит и в (1)

достигается тогда и только тогда, когда

bc – ad = 0 (4)

В этом случае говорят, что две пары чисел (a, b) и (c, d) пропорциональны.

При с ¹ 0 и d ¹ 0 условие (4) можно записать следующим образом:

Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рисунке.

Очевидно, что длины отрезков OР и OQ и PQ определяются равенствами

ОР = (a2 + b2)½

ОQ = (c2 + d2)½

РQ = [(a – c)2 + (b – d)2]½

Обозначим угол между сторонами ОР и OQ через q. На основании теоремы

косинусов имеем:

PQ2 = OP2 + OQ2 – 2OP × OQ cosq

Подставляя значения OP, OQ, и РQ и упрощая полученное выражение, имеем

Поскольку значение косинуса всегда заключено между –1 и +1, мы имеем

-1 £ cos q £ 1

или

значит

А это двумерный вариант неравенства Коши. Кроме того, мы видим, что равенство

здесь достигается тогда и только тогда, когда сos q =1, т.е. когда q = 0

или q = p, - другими словами в том и лишь в том случае, когда точки О, Р, и Q

лежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых

ОР и OQ; иначе говоря, если с ¹ 0 и d ¹ 0, то должно быть

б) Трехмерный вариант неравенства Коши.

Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще

и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить,

какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному

случаю любого числа измерений. Перейдем к случаю трехмерного пространства.

Пусть Р(а1, а2, а3) и Q(b1, b2

, b3) – две точки, не совпадающие с началом координат О (0, 0, 0).

Тогда косинус угла q между прямыми ОР и OQ будет определяться равенством

которое, в силу того, что сosq £ 1, приводит к трехмерному варианту

неравенства Коши для неотрицательных чисел аi и bi, i =

1, 2, 3

(1)

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Q

лежат на одной прямой, что выражается соотношениями

имеющими смысл при условии, что все числа bi, стоящии в знаменателях отличны

от нуля.

Чисто алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (1)

можно вывести из следующего тождества:

(a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 = (a12b22 + a22b12) +

+ (a12b32 + a32b12) + (a22b32 + a32b22) – 2a1b1a2b2 – 2a1b1a3b3 – 2a2b2a3b3 =

= (a1b2 – a2b1)2 + (a1b3 – a3b1)2 + (a2b3 – a3b2)2 (2)

Очевидно, что последнее выражение в (2) неотрицательно, так как оно состоит

из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

(a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ³ 0.

Приведем еще одно доказательство этого неравенства, которое пригодится нам

дальше.

Начнем с основного неравенства (х – у2) ³ 0, которое можно

записать в следующем виде:

(3)

Неравенство (3) имеет место для любых действительных чисел х и у. Вместо х и

у последовательно подставим в (3) следующие выражения:

сначала:

затем

и, наконец,

где ai, bi – действительные числа.

Складывая три полученных таким образом неравенства, имеем

,

что бесспорно равносильно неравенству

(a12 + a22 + a32)½(b12 + b22 + b32)½ ³ a1b1 + a2b2 + a3b3

А это неравенство равносильно неравенству (1) при ai, bi – неотрицательных.

в) n – мерный вариант неравенства Коши будет выглядеть так

,

где ai, bi, i = 1, 2, . n – неотрицательные числа.

Неравенство Гёльдера.

Одно из наиболее полезных неравенств математического анализа – неравенство

Гёльдера. Оно утверждает, что для любой системы неотрицательных чисел ai

и bi (i – 1, 2, . , n)

(1)

где числа р и q удовлетворяют условию

и р > 1

Фактически мы докажем неравенство (1) только для рациональных р и q. Однако

окончательный результат сохраняет силу и для иррациональных р и q.

Начнем с неравенства

(2)

Оно выводится как частный случай теоремы о среднем арифметическом среднем

геометрическом. Положим, что первые m чисел xi в неравенстве

равны некоторому неотрицательному числу х, тогда остается N-m чисел и пусть

они равны неотрицательному числу у, т.е.

x1 = x2 = . = xm = x

xm+1 = xm+2 = . = xn = y

В этом случае теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для

чисел x1, x2, . , xn примет вид

или

Здесь n – любое целое число, а m – целое число значения которого заключены в

пределах 1 £ m £ n – 1. Отсюда следует, что число m/n может быть

любой рациональной дробью r, принадлежащей интервалу 0 < r < 1. Теперь

последнее неравенство можно переписать так:

rx + (1 – r)y ³ x r y1-r (3)

Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел х и у и для любой

дроби r, значения которой заключены между 0 и 1. Равенство здесь достигается

тогда и только тогда, когда х = у.

Обозначим число r через 1/р; поскольку 0 < r < 1, то p > 1. Отсюда

. Пусть , тогда и

В этих обозначениях неравенство (3) принимает вид

(4)

С целью исключить из рассмотрения дробные показатели степени положим

х = ар, у = bр.

При этом неравенство (4) принимает вид

, где a и b –

неотрицательные числа, а р и q – такие рациональные числа, что

. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда ар = b

р. Итак, мы вывели неравенство (2).

Положим

затем

и т. д. (как в доказательстве неравенство Коши) и сложим неравенства,

получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (2). При этом

получим

(5)

Используя равенство

, получаем неравенство, равносильное (1). Равенство в (5) достигается тогда и

только тогда, когда все отношения bi/ai равны между

собой.

Неравенство треугольника.

Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше

длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему

алгебраически.

Рассмотрим треугольник ORP, расположенный так, как показано на рисунке.

Геометрическое неравенство ОР + PR ³ OR равносильно алгебраическому

неравенству треугольника

(1)

Для доказательства возведем обе части неравенства (1) в квадрат, при этом мы

придем к неравенству, равносильному (1):

Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно неравенству:

Но это неравенство является простым следствием неравенства Коши

,

что и доказывает неравенство треугольника.

Равенство в неравенстве треугольника, как и в неравенстве Коши достигается тогда

и только тогда, когда х1 = кх2 и у1 = ку2

, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же

пути, что и при выводе неравенства Гёльдера, а именно доказать, что

неравенство

имеет место для любых действительных значений xi, yi.

Равенство достигается в том и только том случае, когда числа xi и y

i пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен.

Рассмотрим еще одно доказательство неравенства треугольника, которое можно

использовать также и для получения более общих результатов. Имеет место

тождество

(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2 = х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) + х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2)

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни, применим по очереди

к двум выражениям:

х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) и

х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2).

Мы получим

(х12 + у12)1/2 [(х1

+ х2)2 + (у1 + у2)2]

1/2 ³ х1(х1 + х2) + у1(у

1 + у2) и

(х22 + у22)1/2 [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ³ х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2)

Сложим эти два неравенства

[(х12 + у12)1/2 + (х

22 + у22)1/2]*[(х1

+ х2)2 + (y1 + у2)2]

1/2³ (х1 + х2)2 + (у1 + у

2)2

разделив обе части на общий множитель

[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ,

будем иметь

(х12 + у12)1/2 + (х22 + у22)1/2 ³ [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2

таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника. Равенство опять

будет иметь место тогда и только тогда, когда х1 = кх2 и

у1 = ку2, где к – неотрицательный коэффициент

пропорциональности, другими словами, тогда и только тогда, когда три точки О, Р

и Q лежат на одной прямой, причем точки Р и Q расположены по одну сторону от

точки О.

Неравенство Минковского.

Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел х1

, у1, х2, у2 при любом р > 1

(х1р + у1р)1/р + (х2

р + у2р)1/р ³ [(х1 + х

2)р + (у1 + у2)р]1/р

(1)

Неравенство треугольника составляет частный случай неравенства Минковского

для р = 2 и их доказательства подобны.

Запишем тождество

(х1 + х2)р + (у1 + у2)р = [х1(х1 + х2)р-1 + у1(у1 + у2)р-1] ×

× [х2(х1 + х2)р-1 + у2(у1 + у2)р-1]

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого тождества.

В результате получим:

(х1р + у1р)1/р= [ (х

1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2

)(р-1)q]1/q ³ х1(х

1 + х2)р-1 + у1(у1 + у2

)р-1

и

(х2р + у2р)1/р= [ (х

1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2

)(р-1)q]1/q ³ х2(х

1 + х2)р-1 + у2(у1 + у2

)р-1

Так как , то (p – 1)q = p. Складывая последние два неравенства, имеем

[(х1 + х2)р + (у1 + у2)

р]1/q[(х1р + у1р)

1/р + (х2р + у2р)1/р

] ³ (х1 + х2)р + (у1 + у2

)р

Разделив затем на [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/q

получим

(х2р + у2р)1/р + (х1р + у1р)1/р ³ [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1-1/q

Так как , то

последнее неравенство полностью совпадает с требуемым неравенством Минковского

(1).

Знак равенства в неравенстве (1) имеет место тогда и только тогда, когда точки

(х1 у1) и (х2 у2) лежат на одной

прямой с точкой (0, 0).

Аналогично обобщением неравенства Гёльдера и неравенства треугольника можно

получить и неравенство Минковского для двух систем их n неотрицательных чисел х

1, х2, . , хn и у1, у2, . , у

n. Оно имеет вид:

[х1р + х2р +. хnр ]1/р + [у1р + у2р+. + уnр] 1/р ³

³ [(х1 + у1)р + (х2 + у2)р + . +(хn + уn)р]1/р , где р ³ 1

При p < 1 знак неравенства следует изменить на обратный.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В дипломной работе изучен и дан анализ самостоятельной работе учащихся наряду

с другими формами организации познавательной деятельности. На основе

изученной психолого-педагогической литературы дается характеристика этих

форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными

формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях в

выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в

экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по

включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения.

Разработано и проведено 8 занятий по теме «Иррациональные неравенства». На

основе изученной литературы дается анализ иррациональных неравенств и

способов их решения.

Проведение опытно- экспериментальной работы подтверждает выдвинутую гипотезу.

Применение самостоятельной работы учащихся способствует лучшему усвоению

знаний, о чем свидетельствуют результаты контрольной работы, способствует

повышению активности познавательной деятельности учащихся. Конечно, если бы

эксперимент длился дольше, то результаты были бы более ощутимы.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Андреева И.Н. Индивидуальные творческие работы учащихся в обучении

// Автореферат, МГПИ- М; 1967

2. Аношнин А.П. Оптимизация форм организации учебной деятельности

школьников на уроке. // Автореферат, ЧГУ- Челябинск: 1986

3. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения // Советская

педагогика- М.: Просвещение

4. Верцинская Н.Н. Индивидуальная работа с учащимися- Минск: 1983

5. Дьяченко В.К. Организационные формы обучения и их развитие.

//Советская педагогика- М: Просвещение, 1985, № 9

6. Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее

развитие- М: Педагогика, 1989

7. Зотов Ю.Б. Организация современного урока.- М: Просвещение, 1984

8. Лийметс Х.И. Групповая работа на уроке. – М: Просвещение, 1975

9. Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. –

Казань: Издательство Казанского университета, 1972

10. Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы

учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного

процесса. //Автореферат, М: 1972

11. Семенов Н.А. О способах организации обучения. //Советская педагогика,

1966, № 11

12. Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. //М:

Просвещение, 1968

13. Уфимцева М.А. Формы организации обучения в современной

общеобразовательной школе. //М: Просвещение, 1986

14. Хабиб О.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся. –М:

Педагогика, 1979

15. Чередов И.М. Методика планирования школьных форм организации обучения.

–Омск: Педагогика, 1983

16. Чередов И.М. Пути реализации принципа оптимального сочетания форм

организации учебной деятельности в 5-9 классах. //Автореферат, КГУ,

Красноярск, 1970

17. Чередов И.М. Система форм организации в советской общеобразовательной

школе. –М: Педагогика, 1987

18. Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе. – М: Просвещение, 1988

19. Ю.В. Нестеренко и др. Задачи вступительных экзаменов по математике //М:

Наука, 1980

20. Белоносов В.С. Задачи вступительных экзаменов по математике в НГУ

//Новосибирск, НГУ, 1992

21. Литвиненко В.Н., Морднович А.Г. Практикум по элементарной математике.

//М: Просвещение, 1991

22. Литвиненко В.Н. Морднович А.Г. Практикум по решению математических

задач. //М: Просвещение, 1984

23. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. //М:

Просвещение, 1979

24. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства //Минск: Народная Асвета, 1972

25. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа //М:

Просвещение, 1990

26. Коровкин П.П. Неравенства //М: Наука, 1974

27. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства //М: Наука, 1976

28. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства //М: Мир, 1965

29. Невежский Г.Л. Неравенства //М: Учпедгиз, 1947

30. Алгебра, 8 класс //М: Просвещение, 1980

ПРИЛОЖЕНИЕ.

1. Введение

Изучая школьную программу, я выяснила, что иррациональные неравенства не

рассматриваются в курсе средней школы. В 11классе изучаются лишь

иррациональные уравнения. Они входят в раздел «Показательные функции», и

учитель может уделить им внимание в течение 2-3 уроков. Однако для тех

учащихся, которые хотят иметь хорошую подготовку для поступления в ВУЗы этого

явно недостаточно. Просматривая программы, предлагавшиеся на вступительных

экзаменах в НГУ и МГУ находим, что кроме иррациональных уравнений в них

предлагается решить и иррациональные неравенства. Например, НГУ:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8