РУБРИКИ

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалентные преобразования:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

откуда получаем

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и решая его возведением в квадрат, получаем Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

.

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Пример 4. Решим неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств. где

первые четыре неравенства являются ОДЗ

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

или

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Так как Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , то Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , а потому Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Далее Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , поэтому Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Значит, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , и тем более Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Но Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , следовательно.

второе неравенство нашей системы выполняется при любых допустимых значения Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система, а вместе с ней и исходное

неравенство имеют решение Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

.

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Пример 5. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Правая часть данного неравенства неотрицательная, поэтому левая

его часть должна быть положительной. В противном случае неравенство не имеет

смысла. Учитывая это, проведем следующие эквивалентные преобразования:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

второе неравенство имеет смысл при любом Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

из ОДЗ, т.е. при Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

если упростить третье неравенство системы, то получим

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

или

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его,

получаем

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

6. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и

более радикалов нечетной степени

Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух

радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем последовательного

возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и

преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении

неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место

следующие эквивалентные преобразования:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Пример 1. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

После возведения его в куб получим неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

.

Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит к

освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно

использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

Пусть требуется решить неравенство вида:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (1)

или

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (2)

Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть неравенства

равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое

назовем соответствующим

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (3)

Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью

определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на

числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть,

например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых

промежутков Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- корни уравнения (3).

Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки

знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной

кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В

рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут

промежутки Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего

промежутка. подставить в функцию вместо переменной Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в

которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое

значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в

истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество

решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

возведем уравнение в куб:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Так как по условию выражение Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

должно равняться Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства ,

то, сделав соответствующую замену, получим:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Проверка 1.

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - ложно, корень Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - посторонний.

Проверка 2.

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - истинно, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - корень уравнения.

Областью определения неравенства является множество действительных чисел.

Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых

промежутка:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Взяв любое число (например, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Значит, числовой промежуток не входит в решение неравенства. Значение Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, взятое из числового промежутка Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Значит, числовой промежуток Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

является решением неравенства.

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Пример 3. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Решим соответствующее уравнение

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

сделаем подстановку Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства получим уравнение

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Отмечаем корни на числовой оси

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому

рассматриваем три числовых промежутка: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Пусть Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , тогда Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

- ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

не входит в решение. Пусть Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, тогда Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства - истинное

числовое неравенство и числовой промежуток Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

входит в решение. Аналогично, числовой промежуток Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

тоже входит в решение.

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Пример 4. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Возведем в куб части неравенства:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

откуда

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

ОДЗ неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства или Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

При значения Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства всегда, а Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства . Значит последнее неравенство истинно при Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Пример 5. Решить неравенство

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

в правую часть:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

или

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Решением последней системы является Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Ответ: Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

7. Решение иррациональных неравенств с параметрами

Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в пределах

рассматриваемой задачи .

Значения параметров Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

, для которых функции Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

и Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства определены,

называются множеством допустимых значений параметров.

Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным, когда

указано множество всех его решений при произвольной допустимой системе

значений параметров. Решение параметрических иррациональных неравенств

рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые значения

параметров и найти соответствующие искомые значения переменной, целесообразно

данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью неравенств, как это

будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1) Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

из ОДЗ, т.к. Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

. Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части.

Возведем в квадрат обе его части.

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Все значения Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства будут принадлежать ОДЗ, так как Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства , значит Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.