Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

75 год механико-математический факультет

В-I решить неравенство

В-II решить неравенство

81 год геолого – геодезический факультет

В-I решить неравенство

В-IV решить неравенство

81 год физический факультет

В – I решить неравенство

В – II решить неравенство

МГУ:

78 год механико – математический факультет

В-I решить неравенство

79 год физический факультет

В-I решить неравенство

78 год химический факультет

В-I решить неравенство

Цели проведения и написания этого факультатива: подготовить учащихся к

поступлению в ВУЗы, расширить и систематизировать полученные ранее сведения и

решении иррациональных уравнений, научить учащихся решать иррациональные

неравенства, а также отработать технические навыки тождественных

преобразований иррациональных уравнений. Данный материал требует достаточной

логической грамотности учащихся, так как для того, чтобы найти множество

решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе

части неравенства в натуральную степень. Необходимо довести до понимания

учащихся, что несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального

уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое

отличие. При решении неравенства невозможно проверкой установить «лишние»

решения, которые могут появиться при возведении в четную степень.

Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том,

что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у

нас получалось неравенство, эквивалентное исходному. Цель дипломной работы –

оказать конкретную помощь учителю в подготовке учеников к поступлению в

ВУЗы, в более углубленном изучении материала. Самым распространенным методом

обучения решению иррациональных неравенств является выявление типичных

способов решения иррациональных неравенств. Наша задача – дать основные

рекомендации для поиска решения неравенств и приобрести некоторый опыт при

решении.

Занятие№1

Тема: Понятие иррационального неравенства, его особенности.

Цель: дать понятие об иррациональных неравенствах, научить находить ОДЗ

иррациональных неравенств.

I. Вспомнить (вопросы классу):

1) что называется корнем n – ной степени из числа а?

2) Что называется арифметическим корнем n – ной степени из числа а (

а ³ 0)?

3) Какие свойства арифметического корня n – ной степени вы знаете?

II. Самостоятельная работа на 2 варианта

В – I В – II

1) Докажите, что истинно равенство

2) Найдите значений корня

3) Найдите значение выражения

4) Решите уравнения

х3 = 4 х4 = 10

х4 = -10 х3 = -4

х6 = 7 х5 = 6

5) Решите уравнение и неравенства

6) Найти значения выражения

III. Учитель объясняет новый материал, опираясь не знания учащихся.

IV. Найти ОДЗ неравенств (учащиеся решают самостоятельно, затем устно

проверяем ответы)

V. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает тему «Простейшие иррациональные

неравенства, содержащие радикал четной степени» и пишет доклады по этой теме

по плану:

1) Уединение радикала

2) Решение неравенств вида

3) Решение неравенств вида

4) Примеры

2 группа повторяет пройденный материал.

Занятие №2

Тема: Простейшие иррациональные неравенства, содержащие переменную под

знаком радикала четной степени.

Цель: Отработать навыки решения иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком радикала четной степени.

I. Чтение доклада одним из учащихся 1 группы, дополнения остальных учащихся 1

группы, разбор у доски 3 – 4 примеров, которые ребята нашли и решили дома.

II. Следующие неравенства ребята решают самостоятельно, затем в парах

проверяют решения друг у друга.

1)

Ответ: х ³

2)

Ответ: х £ -1 и х ³ 1

3)

Ответ: х ³

4)

Ответ:

III. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает простейшие иррациональные неравенства,

содержащие переменную под знаком радикала нечетной степени и пишет доклад по

плану:

1) возведение неравенств в нечетную степень;

2) примеры с решениями.

2 группа учит решение иррациональных неравенств, разобранных в классе, решает

неравенства:

1)

2)

3)

Занятие №3

Тема: Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

радикала нечетной степени.

Цель: Закрепление изученного, научить учащихся решать простейшие

иррациональные неравенства, содержащие переменную под знаком радикала нечетной

степени.

I. Повторение

1) Расскажите правила решения неравенств вида

а)

б)

в)

г)

2) Решить неравенства (кто-то из учащихся 2 группы решает у доски,

остальные – в тетрадях)

а)

Ответ:

б)

Ответ:

II. Разбор нового материала (ребята из 1 группы рассказывают, объясняют свои

примеры).

III. Самостоятельно решить неравенства

1)

x(x-3)(x+2)>0

	+ - + -

-2 0 3

Ответ:

2)

	- + - +

0

Ответ:

Ответы проверить в парах.

IV. Подведение итогов занятия: видим, что при возведение неравенств в

нечетную степень эквивалентность не нарушается и под знаком радикала

выражение может принимать любые значения. А в четную степень имеем право

возводить только те неравенства, у которых обе части неотрицательны; под

знаком радикала четной степени может стоять только неотрицательная функция.

V. Д/з

1 группа изучает тему «Решение иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком двух и более радикалов четной степени», подбирает и

решает неравенства по теме. Цель этой самостоятельной работы: научиться самим

и научить затем ребят из второй группы решать такие неравенства.

2 группа повторяет изученное.

Занятие №4.

Тема: Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

двух и более радикалов четной степени.

Цель: отработка навыков решения иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком двух и более радикалов четной степени.

I. Учащиеся из 1 группы у доски рассказывают новый материал, объясняют

неравенства, которые они решили дома, с помощью учителя разбираются

непонятные места.

II. Делаем вывод: при возведении таких неравенств в четную

степень эквивалентность не нарушается только тогда, когда обе части

неравенства неотрицательны. Некоторые неравенства следует сначала привести к

такому виду, когда ясно видно, что обе части его неотрицательны.

Решим пример (кто-то из ребят 2 группы решает у доски).

Ответ:

III. Решить неравенства

1)

Ответ:

2)

На ОДЗ

Значит неравенство истинно.

Ответ:

3)

Ответ:

4)

Ответ:

5)

Ответ:

6)

Ответ:

7)

Ответ:

IV. Д/з

1 группа пишет доклады по теме: «Решение иррациональных неравенств,

содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени».

Особое внимание обратить на решение неравенств вида:

и неравенств, содержащих радикалы третьей и второй степени.

2 группа: повторение, решить неравенства а);

б)

Занятие №5

Тема: решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

двух и более радикалов нечетной степени.

Цель: познакомить учащихся с неравенствами, содержащими переменную под

знаком двух и более радикалов нечетной степени и показать способы их решения.

I. Проверка Д/з 2 группы (устно)

II. Учащиеся 1 группы читают доклады, объясняют у доски решенные неравенства.

Все остальные ребята с учителем разбирают решения.

III. Решить неравенства (решения проверить друг у друга в парах).

1)

Ответ:

2)

+ - +

-1 3

Ответ:

3)

найдем решение соответствующего уравнения:

возводим в куб

делаем замену

Проверка:

1.

-2=1 – ложно, корень х = 0 – посторонний

2.

Ответ:

4)

решим соответствующее уравнение:

возводим в куб

делаем подстановку

Проверка:

1.

2.

1 3

Ответ:

5)

возводим в куб

При

Значит последнее неравенство на ОДЗ всегда истинно.

Ответ:

6)

Ответ:

IV. Д/з

1 группа на примерах рассматривает решение иррациональных неравенств с

параметрами.

2 группа учит рассмотренный в классе материал, решает неравенства

а)

б)

Занятие №6

Тема: Решение иррациональных неравенств с параметрами.

Цель: научить учащихся решать иррациональные неравенства с параметрами.

I. Вопросы классу

1) Что называют параметрами?

2) Когда неравенство, содержащее параметры считается решенным?

II. Учащиеся из 1 группы рассказывают о решении неравенств, которые они

решали дома. Учитель помогает сделать выводы.

III. Решить неравенства

1)

все значения принадлежат ОДЗ, так как значит

Ответ: 1)

2)

2)

ОДЗ неравенства

а) при а < 0

на ОДЗ всегда и неравенство истинно

б) при

последнее неравенство имеет смысл при , значит при нет решений

при

возводим в квадрат обе части неравенства

1 – 2а2 + a4 > 4a2(x – 1)

a4 + 2a2 + 1 > 4a2x

(a2 + 1)2 > 4a2x

Ответ: 1) при

2) при нет решений

3) при

3)

ОДЗ неравенства

а) при а = 0 нет решения

б) при а > 0 ОДЗ

х = 0 и х = а не удовлетворяют неравенству х(х – а) < 0 на ОДЗ, а

всегда и неравенство истинно всегда

в) при а < 0 ОДЗ х Î [a;0] неравенство истинно

Ответ: а) если а > 0 0 < x < a

б) если а = 0 нет решения

в) если а < 0

4)

при а £ 0 неравенство не имеет смысла, так как получаем

при а > 0

Сравним а2 и :

Ответ: если a > 2, то

если a ³ 2, Æ

5)

ОДЗ неравенства:

а) при а = 0 ОДЗ х £ 0

при х = 0 решения нет

при х < 0 - истинно

б) при а < 0

2а а

ОДЗ х £ 2а

последнее неравенство истинно на ОДЗ, кроме х = 2а

в) при а > 0

ОДЗ х £ а

(а – х)(2а – х) > 0

истинно на ОДЗ, кроме х = а

Ответ: а) при а = 0 х < 0

б) при a < 0 x < 2a

в) при а > 0 x < a

IV. Д/з

1 группа подбирает и решает неравенства по теме «Решение иррациональных

неравенств» способом введения новой переменной».

2 группа решает неравенства

а)

б)

Занятие №7

Тема: Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Цель: познакомить учащихся с методом решения иррациональных неравенств –

введением новой переменной.

I. Разбор неравенств, приготовленных учащимися 1 группы.

II. Решить неравенства

1)

тогда х2 + 5х + 4 = у2 – 24

у2 – 5у – 24 < 0

у2 – 5у – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

у1 = -3 у2 = 8

(у – 8)(у + 3) < 0

-3 < y < 8

- истинно для любого

х из ОДЗ: х2 + 5х + 28 ³ 0 – истинно всегда (

D < 0, a > 0)

Ответ: х Î]–9; 4[

2)

- истинно для любого х из ОДЗ х2 – 3х + 5 ³ 0 – истинно всегда

D <0, a = 1 > 0

Ответ: х Î [-1; 4]

3)

ОДЗ: 5 – х ³ 0 или х £ 5

пусть , тогда у > x – 3, у ³ 0

выразим х через у: у2 = 5 – х Þ х = 5 – у2

получаем систему:

Значения х < 4 принадлежат ОДЗ

Ответ: х < 4

4)

ОДЗ: 2х + 10 ³ 0, х ³ -5 3x – 5 ³ 0, x ³

пусть , тогда у < 3x – 5, y ³ 0

выразим х через у : у2 = 2х + 10 Þ х = ½у2 – 5

получаем систему:

x > 3

Значения х > 3 принадлежат ОДЗ

Ответ: х > 3

5)

Найдем ОДЗ неравенства:

х ³ 2

при х ³ 2 второе и третье неравенства системы истинны

ОДЗ: х ³ 2

пусть

|t + 1| - |t – 1| > 1

a) t £ -1

-t – 1 + t – 1 > 1

-2 > 1 – ложно Æ

б) –1 < t £ 1

t + 1 + t –1 >1

учитывая, что –1 < t £ 1, получаем

в) t > 1

t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно

решением неравенства на всех трех промежутках будет

x > 2,25 – принадлежит ОДЗ

Ответ: x > 2,25

6)

ОДЗ неравенства:

пусть , тогда

|t +-3| + |t – 2| > 1

a) t £ 2

- t + 3 – t + 2 > 1 t <2

учитывая, что t £ 2 получаем t <2

б) 2 < t £ 3

- t + 3 + t – 2 > 1 1 > 1 – ложно Æ

в) t > 3

t – 3 + t – 2 > 1 t >3

получаем:

учитывая ОДЗ получаем: 2 £ x < 6, x > 11

Ответ: 2 £ x < 6, x > 11

III. Д/з

1 группа разбирает способы решения иррациональных неравенств домножением

обеих частей на некоторое число или выражение, разложением подкоренного

выражения на множители, выделением полного квадрата в подкоренных выражениях.

2 группа решает неравенства:

а)

б)

Занятие № 8

Тема: Решение иррациональных неравенств, способами домножения обеих

частей на некоторое число, либо выражение, выделения полного квадрата в

подкоренных выражениях, либо разложения подкоренного выражения на множители.

Цель: дать учащимся представление о способах решения иррациональных неравенств.

I. Разбор Д/з 2 группы (устно)

II. Разбор задач, приготовленных 1 группой.

III. решить неравенства

1)

ОДЗ: х ³ 1

домножим на

последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ

Ответ: х ³ 1

2)

ОДЗ: х < 2

домножим на

Ответ:

3)

Ответ: хÎ[0;3]

4)

ОДЗ: х £ 1, х £ 5, х = 2

учитывая ОДЗ получаем

Ответ:

Итоговая контрольная работа

Вариант I.

Решить неравенства

1)

2)

3)

4)

5)

Вариант II.

Решить неравенства

1)

2)

3)

4)

5)

Филиппова Ольга Владимировна.

Дипломная работа «Организация познавательной деятельности учащихся на

факультативных занятиях по теме «Иррациональные неравенства»

Руководитель: Кузьмичев Анатолий Иванович.

З А Щ И Т А (устно)

Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка

литературы и приложения с разработкой факультатива по теме.

В дипломной работе мне хотелось собрать и проанализировать знания, полученные

за пять лет обучения, и применить их к конкретной задаче. А именно, я

попыталась на примере изучения очень трудной и, прямо сказать, непопулярной

среди школьников темы «Иррациональные неравенства» подтвердить положение о

том, что интерес, а с ним и знания, умения, навыки приходят вместе с упорным

трудом, причем, этот труд должен носить в большой мере самостоятельный

характер и в части подготовки к занятиям, и даже части проведения и поиска

нужных форм их организации.

Важным подспорьем в развитии познавательного интереса учащихся являются, как

оказалось, исторические сведения по теме. Их поиск значительно активизировал

работу с литературой, в которой помимо всего учащиеся искали еще и сведения

по методике проведения занятий, изучения темы, задач, предлагавшихся на

вступительных экзаменах в различные ВУЗы.

При проведении факультативных занятий ученики были разбиты на 2 группы:

экспериментальную и контрольную, примерно равные по силам. У всех учащихся

была одна цель – подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗ. Это

определило их первоначальный интерес. Разбиение на 2 группы проводилось по

желанию самих ребят. Они посещали одни и те же занятия, изучали на уроках

один и тот же материал. Но ребята 1-ой экспериментальной группы имели гораздо

больше возможностей и причин для самостоятельной работы по теме: они в

качестве домашнего задания должны были самостоятельно изучить новую тему,

начиная с поиска материала (под руководством учителя), далее написать

доклады, найти и прорешать задачи, а затем рассказать все это остальным

участникам факультатива.

Учитель предлагал темы, литературу, определял докладчиков, акцентировал в

нужных местах внимание и на уроках давал задачи по теме, которые, по его

мнению, нужно было прорешать, а докладчики таковых не предложили.

Заключительная работа по теме показала, что учащиеся из 1-ой группы получили

результаты, пусть и ненамного, но лучше учащихся контрольной группы.

Но, кроме того, они получили бесценный опыт самостоятельной работы, который,

как мне кажется, еще даст свои положительные результаты в будущем.

По материалам проведенного факультатива и был написан диплом.

В первой главе разбираются основные формы организации познавательной

деятельности, проводится их сравнительный анализ и выясняются оптимальные

сочетания и взаимодействия этих форм (в зависимости от специфики материала и

от того, как он усвоен учащимися, выбирались сочетания фронтальной, групповой

и индивидуальной форм).

Во второй главе рассматриваются вопросы методики организации факультативных

занятий, необходимость и обоснованность их проведения. Далее излагаются

результаты опытно-экспериментальной работы.

Глава три – основная часть работы. В ней содержится необходимый теоретический

и практический материал для факультатива. К сожалению, сюда не вошли все

задачи, которые предлагали учащиеся, найденные ими к занятиям, из-за их

однотипности с опубликованными.

Учащимися, с помощью учителя, были выделены 9 частных случаев и способов

решения иррациональных неравенств и к каждому из них учащиеся придумывали

неравенства для последующего решения их всем классом.

Учителем была поставлена задача выяснить, какие трудности характерны для

каждого из способов решения.

Большое внимание уделялось оформлению решения задачи, в частности, записи

ответа, за что в ВУЗах на приемных экзаменах часто снижают бал.

Эта часть диплома может служить основой для проведения соответствующего

факультатива для любого учителя. Данная глава заканчивается подборкой задач

по теме и доказательством классических неравенств.

В приложении приводится разработка факультатива из 8 занятий по теме

«Иррациональные неравенства» и итоговая контрольная работа.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8