Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Теорема 15. Если

- нечетное число, и

- положительно, а -

отрицательно, то .

Из предыдущего видно, что

, а , откуда

.

Теорема 16. Если числа и положительны и , то , где - целое положительное число.

Действительно, если предположить, что

, то возведя обе части неравенства в степень

. получим , т.е.

придем к противоречию.

Теорема 17. Если , то , где - произвольное положительное рациональное число.

В самом деле, из имеем и дальше .

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции

и . Если поставить

между ними один из знаков неравенства (>,<,

,), получим

условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем

называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ)

неравенства

называется множество таких значений

, при которых и функция

, и функция

определены. Иными словами, ОДЗ неравенства

- это пересечение ОДЗ функции

и ОДЗ функции .

Частным решением неравенства

называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной

. Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их

решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если

каждое частное решение неравенства

является в то же время частным решением неравенства

, полученного после преобразований неравенства

, то неравенство

называется следствием неравенства

. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным

неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже

функцию , которая

определена при всех значениях

из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения

знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким

образом, неравенства

(1)

и

(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть

=- произвольное

решение неравенства

. Тогда - истинное

числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число

(по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же

область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что

числовое неравенство

- истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является

решением неравенства (2).

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого

неравенства числа

по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

. Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и

произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема

доказана.

Следствие. Неравенства

и

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию ,

которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только положительные

значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то

получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет смысл при всех

из области определения неравенства (1), причем

). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое

неравенство (2) тоже истинное при

.

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число

(по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое

неравенство .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство,

равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию ,

которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные

значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится

неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: Пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет решение при всех

из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых

неравенств заключаем, что числовое неравенство

тоже истинное.

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число

по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

.

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2)

и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1).

Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то

получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство

, причем и

при всех из области

определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же

натуральную степень

и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

,

равносильное данному.

Доказательство: пусть

- произвольное решение неравенства

. Причем и

(по условию). Тогда

- истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем,

что числовое неравенство

тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение

области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при

сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении

неравенства в результате тождественных преобразований может получиться

неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных

преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства,

из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения

исходного неравенства.

3. Корень - й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем

- й степени из действительного числа

называется действительное число

такое, что .

В частности, если ,

, то из получаем,

что или

. Если ,

, то из получаем,

что . Заметим, что

если - четное, а

, то по свойствам действительных чисел не существует действительных

таких, что . Если

- четное, а , то

существует ровно два действительных различных корня

- й степени из .

Положительный корень обозначается через

- арифметический корень

- й степени из ,

отрицательный .

Если , то при любом

существует единственный корень

- й степени из -

число .

Если, - нечетное, то

для любого действительного числа

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8