Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Диплом: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

Ответ: 1. ; 2. .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Легко видеть, что при

данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть

меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при

. ОДЗ неравенства

Неравенство имеет смысл лишь при

. Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при

. Возведем в квадрат обе части неравенства

при

Сравним и , чтобы определить верхнюю границу значений .

при значит >.

Ответ: если , то

если . то .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство перепишем так

(1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение

параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства положительные,

поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства,

эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное

неравенство тождественно истинное в области его определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно

заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а при

всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное,

поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a £ x £ 0

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части

неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области

определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x £ а, второй при

x £ b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее

в правой части неравенства.

Итак,

равносильно системе

но

,

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

или

А система равносильна системе

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля,

значит наша система равносильна совокупности двух систем:

после выполнения преобразований получаем:

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1) a ³ b,

2) b ³ a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a ³ b x < b

2) a £ b x < а

8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать

способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на

примерах.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение. Положив

, находим что х2 + 5х + 4 = у2 – 24, тогда неравенство (1)

преобразуется к виду:

у2 – 5y – 24 < 0

и далее решим уравнение:

у2 – 5y – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

y1 = -3, y2 = 8

получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:

Так как при всех

допустимых значениях х, то тем более

при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить

неравенство:

Это неравенство равносильно системе

Так как неравенство х2 + 5х + 38 ³ 0 выполняется при любых

значениях х (D = 25 – 4 × 28 < 0 и а = 1 > 0), то последняя

система равносильна неравенству:

х2 + 5х + 38 < 0

или

(х + 9)(х – 4) < 0

откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)

Ответ: х Î ]-9; 4[

Неравенство (1) – неравенство вида

.

Здесь применима подстановка

и неравенство заменяется равносильным ему неравенством:

у2 – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.

Рассмотрим неравенство вида:

, где можно применить подстановку .

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х £ 5. Положим

, тогда у > x – 3, y ³ 0. Выразим х через у: у2 = 5 – х

Þ х = 5 – у2.

Получаем систему:

Откуда:

Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.

Ответ: x < 4.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

при х ³ 2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х ³ 2.

Пусть , тогда исходное неравенство примет вид:

(1)

Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты,

то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:

|t + 1| - |t – 1| > 1

Разобьем решение на три промежутка:

1) t £ -1

-t – 1 + t – 1 > 1 Æ

2) –1 < t £ 1

t + 1 + t – 1 > 1

2t > 1

t > ½

3) t > 1

t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно

Решением неравенства на всех трех промежутках будет t > ½

Подставляем

Эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: x > 2,25.

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Положим , тогда и мы получаем неравенство:

у2 – у – 2 >0,

откуда находим y < -1, y>2.

Теперь задача свелась к решению двух неравенств:

Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел,

поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только

неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

(1)

Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и

это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:

Противоречие.

Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не

имеет смысла.

Решим неравенство

Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда x

> 34.

Ответ: x > 34.

9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое

число, либо выражение.

Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из

параграфа «Неравенства и их основные свойства».

Пример 1. Решить неравенство:

(1)

Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного

неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если

проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное

неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ

неравенства:

2х2 – 3х + 2 ³ 0

откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части

неравенства (1) на 2 получим

и далее

Полагая , получим у2 – 2у - 8 ³ 0, откуда у £ -2, у ³ 4.

Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:

Второе неравенство системы имеет решения х £ -2, х ³ 3,5, а первое

– не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая

отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.

Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства (1) и получены

при переходах к равносильным неравенствам.

Ответ: х £ -2, х ³ 3,5.

Пример 2. Решить неравенство

(1)

Решение. ОДЗ неравенства:

Домножим обе части неравенства на выражение

, имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).

Получим:

или:

Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше

положительной правой части неравенства.

Ответ: х ³ 1.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

Домножим обе части неравенства на :

Последнее неравенство равносильно совокупности:

Из первой системы получаем x < -2, а решением второй системы является

промежуток

Объединяя их получаем:

Ответ:

10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении

Пример 1. Решить неравенство

Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые

могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства

На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ х Î [-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:

откуда

Но и , поэтому получаем:

или:

В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в

квадрат обе части неравенства

решение этого неравенства х Î [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х Î [0; 3].

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем x £ 1, х ³ 5, х = 2

Перепишем наше неравенство следующим образом:

Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в

квадрат обе части этого неравенства, получим:

Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому

имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное

неравенство:

(х – 2)2(х – 5)(х – 1) £ 9(х – 2)2(х – 1)2

или:

(х – 2)2(х – 1) (х – 5 – 9х + 9)£ 0

(х – 2)2(х – 1) (4 – 8х)£ 0

откуда методом интервалов получаем: х £ ½, х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х £ ½, х = 1, х ≥ 5, х = 2

11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.

Пример 1. Решить неравенство:

(1)

Решение. Область определения неравенства (1): 2 £ х £ 3.

Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо

убедиться в том, что обе его части неотрицательны.

Однако, оказывается, что это не так.

Действительно, так как 2 £ х £ 3, то 1 £ х – 1 £ 2 и

3 £ 6 – х £ 4. А это значит, что

или . Но

. Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2 £ х £ 3

неравенство (1) выполняется. Итак, 2 £ х £ 3 - решение

неравенства.

Пример 2. Решим неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка.

Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного

неравенства.

Ответ: х = 2.

12. Решение более сложных примеров.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.

Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и

при любом действительном значении параметра а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки

знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное,

или тождественно ложное.

а) если a > 0, то

и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства: x < 0,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8