: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

ÐÅÖÅÍÇÈß

“Òðè êðèçèñà â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè”

Ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íå îäíàæäû ïðèâîäèëî â ïðîøëîì ê íåîáõîäèìîñòè îñìûñëåíèÿ è ïåðåñòðîéêè å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. ïîñâÿùåíà îáçîðó òðåõ ïåðèîäîâ èíòåíñèâíûõ ïîèñêîâ ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ íàêîïèâøèõñÿ âíóòðåííèõ ïðîòèâîðå÷èé: àíòè÷íûé ïåðèîä, ïåðèîä îáîñíîâàíèÿ àíàëèçà è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïåðèîä.

 ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ìíîãî èíòåðåñíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ïîêàçàíû íåïðîñòûå ïóòè ôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé.

Àâòîð ïîêàçûâàåò ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â òåìó è õîðîøåå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. çàñëóæèâàåò âûñîêîé îöåíêè.

Çàâåäóþùèé êàôåäðîé

ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà,

êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ

íàóê

Çàõàðîâ Ñ. À.

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Àñòðàõàíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ. Ì. Êèðîâà

Òðè êðèçèñà

ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ

студента физико-математического

Большакова Александра Анатольевича

Научный руководитель

Ованесов Н. Г.

Àñòðàõàíü · 96

Îãëàâëåíèå

Ââåäåíèå

I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.

1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ

2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå

3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè

4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè

II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå

2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà

2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà

3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) òåîðèè ìíîæåñòâ

4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî

5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

Введение

Ñîçäàíèå íîâûõ è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñâÿçàíî îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì (îáîáùå­íèåì) èõ èñõîäíûõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ïîñûëîê è îñíîâàííûõ íà íèõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòèêè íåðåäêî âñòðå÷àëèñü ñ òðóäíîñòÿìè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå èì óäàâàëîñü òîëüêî ïîñëå ïðîäîëæèòåëüíûõ ïîèñêîâ. Ýòè òðóäíîñòè ðîñòà ìàòåìàòèêè — òðóäíîñòè å¸ îáîñíîâàíèÿ: îíè áûëè, åñòü è áóäóò â äàëüíåéøåì.

Òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èãðàþò íàèáîëåå çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè òîãäà, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â êîðåííîé ïåðåðàáîòêå îñíîâ è ìåòîäîëîãèè âñåõ (èëè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î êðèçèñå îñíîâ ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû òðè òàêèõ êðèçèñà.

Âïåðâûå êðèçèñ îñíîâ íàóê âîçíèê â ìàòåìàòèêå â äðåâíåé Ãðåöèè, â íà÷àëå å¸ ôîðìèðîâàíèÿ êàê íàó÷íîé ñèñòåìû. Âòîðîé èìåë ìåñòî â êîíöå XVII è â XVIII âåêå. Òðåòèé âîçíèê â êîíöå XIX âåêà, îí íå ïðåîäîëåí è â íàøå âðåìÿ è îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.

Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè.

I. Способы обоснования математики в

древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.).

Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ.

Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà.

Ïèôàãîðåéöû

ðàçâèëè è

îáîñíîâàëè

ïëàíèìåòðèþ

ïðÿìîëè­íåéíûõ

ôèãóð:

ó÷åíèå î

ïàðàëëåëüíûõ

ëèíèÿõ,

òðåóãîëüíèêàõ,

÷åòûðåõóãîëüíèêàõ,

ïðàâèëüíûõ

ìíîãîóãîëüíèêàõ.

Ïîëó÷èëà

ðàçâèòèå

ýëåìåíòàðíàÿ

òåîðèÿ

îêðóæíîñòè

è êðóãà.

Íàëè÷èå ó

ïèôàãîðåéöåâ

ó÷åíèÿ î

ïàðàëåëüíûõ

ëèíèÿõ

ãîâîðèò î

òîì, ÷òî îíè

âëàäåëè

ìåòîäîì

äîêàçàòåëüñòâà

îò

ïðîòèâíîãî

è âïåðâûå

äîêàçàëè

òåîðåìó î

ñóììå óãëîâ

òðåóãîëüíèêà.

Âåðøèíîé

äîñòèæåíèé

ïèôàãîðåéöåâ

â

ïëàíèìåòðèè

ÿâëÿåòñÿ

äîêàçàòåëüñòâî

òåîðåìû

Ïèôàãîðà.

Ïîñëåäíÿÿ çà

ìíîãî

ñòîëåòèé

ðàíüøå áûëà

ñôîðìóëèðîâàíà

âàâèëîíñêèìè,

êèòàéñêèìè

è

èíäèéñêèìè

ó÷åíûìè,

îäíàêî å¸

äîêàçàòåëüñòâî

èì íå áûëî

èçâåñòíî.

Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò).

Îäíàêî îíè

íå ñìîãëè

îáîñíîâàòü

óòâåðæäåíèÿ,

îòíîñÿùèåñÿ

ê îáúåìàì

òåë

(ïèðàìèäû,

êîíóñà,

öèëèíäðà è

øàðà), õîòÿ,

êîíå÷íî, ýòè

óòâåðæäåíèÿ

áûëè

óñòàíîâëåíû

ýìïèðè÷åñêè

ìíîãî âåêîâ

ðàíüøå. Íå

çíàëè

ïèôàãîðåéöû

è îòíîøåíèÿ

ïîâåðõíîñòè

øàðà ê

áîëüøîìó

êðóãó. Â

îáëàñòè

àðèôìåòèêè

ïèôàãîðåéöû

èçó÷àëè

ñâîéñòâà

÷åòíûõ è

íå÷åòíûõ,

ïðîñòûõ è

ñîñòàâíûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë,

èñêàëè

ñîâåðøåííûå

÷èñëà, ò. å.

òàêèå,

êîòîðûå

ðàâíû ñóììå

âñåõ ñâîèõ

äåëèòåëåé

(íàïðèìåð, 6=1+2+3;

28=1+2+4+7+14). Ïî

âèäèìîìó,

îíè

óñòàíîâèëè,

÷òî åñëè

÷èñëî 2ï–1

ÿâëÿåòñÿ

ïðîñòûì, òî

÷èñëî 2ï–1´(2

ï–1) —

ñîâåðøåííîå.

Ïèôàãîðåéöû

çíàëè òàêæå

äðîáíûå

÷èñëà è â

ýòîé ñâÿçè

ðàçðàáîòàëè

òåîðèþ

àðèôìåòè÷åñêîé

è

ãåîìåòðè÷åñêîé

ïðîïîðöèé.

Îíè âëàäåëè

ïîíÿòèÿìè

ñðåäíåãî

àðèôìåòè÷åñêîãî,

ñðåäíåãî

ãåîìåòðè÷åñ­êîãî

è ñðåäíåãî

ãàðìîíè÷åñêîãî.

Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè.

Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó.

Ðèñ. 1

Ýòî çàìå÷àíèå Àðèñòîòåëÿ ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñîèçìåðèìîñòè äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé Ïèôàãîð èñïîëüçîâàë ìåòîä îò ïðîòèâíîãî (ðèñ. 1).

Ïóñòü, äåéñòâèòåëüíî, äèàãîíàëü ÀÂ ñîèçìåðèìà ñî ñòîðîíîé ÀÑ êâàäðàòà ÀÑÂÄ.

Òîãäà , ãäå ð è q — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äðîáü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñîêðàòèìîé (èíà÷å å¸ ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü); çíà÷èò, ð èëè q áóäåò ÷èñëîì íå÷åòíûì.

Ïðèìåì ÀÑ=1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äîëæíî áûòü:

;

Çíà÷èò

,

ò. å. ð2 äåëèòñÿ íàöåëî íà 2; ñëåäîâàòåëüíî è ð òàêæå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2:

ð=2ð1,

ãäå ð1 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:

q=2q1,

ãäå q1 òàêæå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Èòàê, ð è q —

îáà ÷åòíûå

÷èñëà.

Ïîñêîëüêó ð

èëè q — ÷èñëî

íå÷åòíîå,

âûõîäèò, ÷òî

÷åòíîå

÷èñëî ðàâíî

íå÷åòíîìó

÷èñëó. Â

êîíöå V âåêà

äî í. ý. Ôåîäîð

èç Êèðåíû

óñòàíîâèë,

÷òî

íåñîèçìåðèìîñòü

äèàãîíàëè

êâàäðàòà ñ

åãî

ñòîðîíîé íå

ÿâëÿåòñÿ

èñêëþ÷åíèåì.

Îí ïîêàçàë,

÷òî ñòîðîíû

êâàäðàòîâ,

ïëîùàäè

êîòîðûõ

ðàâíû 3, 5, 6, ., 17

íåñîèçìåðèìû

ñî ñòîðîíîé

åäèíè÷íîãî

êâàäðàòà.

Ïèôàãîð

ó÷èë, ÷òî

ñóùíîñòü

âñåõ âåùåé

åñòü ÷èñëî;

÷èñëî — ñàìè

âåùè;

ãàðìîíèÿ

÷èñåë —

ãàðìîíèÿ

ñàìèõ âåùåé.

Àðèñòîòåëü

ãîâîðèë, ÷òî

ó

ïèôàãîðåéöåâ

÷èñëà

ïðèíèìàëèñü

çà íà÷àëî è â

êà÷åñòâå

ìàòåðèè è â

êà÷åñòâå

[âûðàæåíèÿ

äëÿ] èõ

ñîñòîÿíèÿ è

ñâîéñòâ.

Îòêðûòèå íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí ñíà÷àëà “âûçâàëî óäèâëåíèå” (Àðèñòîòåëü). Ýòî åñòåñòâåííî: äî îòêðûòèÿ Ïèôàãîðà äðåâíåãðå÷åñêèå ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè, ÷òî ëþáûå äâà îòðåçêà èìåþò îáùóþ ìåðó, õîòÿ, ìîæåò áûòü, è î÷åíü ìàëóþ. Êîãäà, îäíàêî, ïèôàãîðåéöû óáåäèëèñü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâî­âàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí áåçóïðå÷íî, îíè ïîíÿëè, ÷òî èõ ôèëîñîôèÿ îêàçàëàñü â çàòðóäíèòåëüíîì ïîëîæåíèè.

Ïèôàãîðåéöû

çíàëè

òîëüêî

ïîëîæèòåëüíûå

öåëûå è

äðîáíûå

÷èñëà.

Ñëåäóÿ ñâîåé

ôèëîñîôñêîé

óñòàíîâêå,

îíè, ïî ñóòè

äåëà,

ñ÷èòàëè, ÷òî

êàæäàÿ âåùü

ìîæåò áûòü

îõàðàêòåðèçîâàíà

ïîëîæèòåëüíûì

öåëûì èëè

äðîáíûì

÷èñëîì,

êîòîðîå

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10