: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

“âûðàæàåò

ñóùíîñòü”

ýòîé âåùè.

Íà äåëå ýòî

îçíà÷àëî,

÷òî

ãåîìåòðèÿ

ñòðîèëàñü

íà áàçå

àðèôìåòèêè.

Îòêðûòèå

íåñîèçìåðèìûõ

îòðåçêîâ

çíàìåíîâàëî

ïîýòîìó

íà÷àëî

êðèçèñà

ïèôàãîðåéñêîé

ôèëîñîôèè è

ìåòîäîëîãè÷åñêèõ

îñíîâ

ðàçâèâàåìîé

èìè ñèñòåìû

ìàòåìàòèêè.

Ïîñëå

îáíàðóæåíèÿ

ñóùåñòâîâàíèÿ

íåñîèçìåðèìûõ

âåëè÷èí

ïåðåä

ïèôàãîðåéöàìè

îòêðûëèñü

äâå

âîçìîæíîñòè.

Ìîæíî áûëî

ïîïûòàòüñÿ

ðàñøèðèòü

ïîíÿòèå

÷èñëà çà

ñ÷åò

ïðèñîåäèíåíèÿ

ê

ðàöèîíàëüíûì

÷èñëàì

÷èñåë

èððàöèîíàëüíûõ,

îõàðàêòåðèçîâàòü

íåñîèçìåðèìûå

âåëè÷èíû

÷èñëàìè

èíîé ïðèðîäû

è òàêèì

îáðàçîì

âîññòàíîâèòü

ñèëó

ôèëîñîôñêîãî

ïðèíöèïà “âñå

åñòü ÷èñëî”.

Îäíàêî, ýòîò

ïóòü ñòîëü

åñòåñòâåííûé

è ïðîñòîé ñ

ñîâðåìåííîé

òî÷êè

çðåíèÿ, äëÿ

ïèôàãîðåéöåâ

áûë çàêðûò. Â

ýòîì ñëó÷àå

íàäî áûëî

ïîñòðîèòü

äîñòàòî÷íî

ñòðîãóþ

àðèôìåòè÷åñêóþ

òåîðèþ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë, ÷òî

ïðè óðîâíå

ïèôàãîðåéñêîé

ìàòåìàòèêè

áûëî äåëîì

íåâûïîëíèìûì.

Ïîýòîìó

íàäî áûëî

èäòè ïî

äðóãîìó

ïóòè — ïî ïóòè

îïðåäåëåííîãî

ïåðåñìîòðà

èñõîäíûõ

ïðèíöèïîâ,

íàïðèìåð

ïðèíÿòü, ÷òî

ãåîìåòðè÷åñêèå

îáúåêòû

ÿâëÿþòñÿ

âåëè÷èíàìè

áîëåå îáùåé

ïðèðîäû, ÷åì

äðîáíûå è

öåëûå ÷èñëà,

è ïûòàòüñÿ

ñòðîèòü âñþ

ìàòåìàòèêó

íå íà

àðèôìåòè÷åñêîé,

à íà

ãåîìåòðè÷åñêîé

îñíîâå.

Èìåííî ýòîò

âòîðîé ïóòü

è èçáðàëè

ïèôàãîðåéöû,

à âñëåä çà

íèìè

áîëüøèíñòâî

äðåâíåãðå÷åñêèõ

ìàòåìàòèêîâ,

âïëîòü äî

Àðõèìåäà è

Àïîëëîíèÿ.

2. Проблема бесконечности в

древнегреческой философии и математике

 äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîÿâèëîñü âïåðâûå ó ìàòåðèàëèñòîâ ìèëåòñêîé øêîëû. Àíàêñèìàíäð (610–546 ãã. äî í. ý.), ïåðååìíèê Ôàëåñà, ó÷èë: ìàòåðèÿ áåñêîíå÷íà â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè; âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà, ÷èñëî ìèðîâ áåñêîíå÷íî. Àíàêñèìåí (546 ã. äî í. ý. — ðàñöâåò äåÿòåëüíîñòè) ãîâîðèë: âå÷íûé êðóãîâîðîò ìàòåðèè — ýòî è åñòü áåñêîíå÷íîñòü.

Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ó Àíàêñèãîðà (îêîëî 500–428 ãã. äî í. ý.).  ñî÷èíåíèè “Î ïðèðîäå” Àíàêñèãîð ïèñàë: âåùè áåñêîíå÷íî äåëèìû, íåò ïîñëåäíåé ñòóïåíè äåëèìîñòè ìàòåðèè; ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà èìååòñÿ íå÷òî áîëüøåå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì.

Áåñêîíå÷íîñòü äëÿ Àíàêñîãîðà — ïîòåíöèàëüíàÿ; îíà ñóùåñòâóåò â äâóõ ôîðìàõ: êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå è áåñêîíå÷íî áîëüøîå.  ìàòåìàòèêå òî÷êà çðåíèÿ Àíàêñàãîðà íàøëà áëàãîïðèÿòíóþ ïî÷âó áëàãîäàðÿ îòêðûòèþ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí — âåëè÷èí, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ëþáîé, êàêîé óãîäíî ìàëîé, îáùåé ìåðîé.

Äåìîêðèò (îêîëî 560–570 ãã. äî í. ý.), ïî-âèäèìîìó, èçó÷àë òàê íàçûâàåìûå ðîãîâèäíûå óãëû (óãëû, îáðàçóåìûå äóãîé îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíîé ê íåé).

Ïîñêîëüêó êàæäûé ðîãîâèäíûé óãîë “ìåíüøå” ëþáîãî ïðÿìîëèíåéíîãî óãëà, çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëîãî. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëîñü è ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè.

Àðèñòîòåëü (384–322

ãã. äî í. ý.)

îò÷åòëèâî

ðàçëè÷àåò

äâà âèäà

áåñêîíå÷íîñòè:

ïîòåíöèàëüíóþ

è

àêòóàëüíóþ.

Ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

â äðåâíåé

Ãðåöèè íå

ïîëó÷èëî

ðàçâèòèÿ

êàê â

ôèëîñîôèè,

òàê è â

ìàòåìàòèêå.

Ìàòåìàòèêè

ñ÷èòàëè, ÷òî

“öåëîå áîëüøå

ëþáîé ñâîåé

÷àñòè” è, òåì

ñàìûì, ïî

ñóùåñòâó,

èñêëþ÷àëè

àêòóàëüíóþ

áåñêîíå÷íîñòü.

Ôèëîñîôû

(Àðèñòîòåëü,

íàïðèìåð)

äîêàçûâàëè

ïðîòèâîðå÷èâîñòü

ïîíÿòèÿ

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

è òåì ñàìûì

ïîääåðæèâàëè

ìàòåìàòèêîâ.

Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîäâåðãàëîñü ñåðüåçíîé êðèòèêå ñî ñòîðîíû Çåíîíà Ýëåéñêîãî (îêîëî 490–430 ãã. äî í. ý.). Çåíîí áûë ó÷åíèêîì Ïàðìåíèäà, ãëàâû ýëåéñêîé øêîëû. Ïàðìåíèä óòâåðæäàë, ÷òî áûòèå åäèíî, íåïîäâèæíî è íåèçìåííî. Äâèæåíèå, èçìåíåíèå — ýòî òîëüêî âèäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ ÷óâñòâ. Ìèð (áûòèå) ìîæåò áûòü ïîçíàí òîëüêî ðàçóìîì, íî íå ÷óâñòâàìè.

Çåíîí Ýëåéñêèé âûäâèíóë 45 àïîðèé (àíòèíîìèé), èìåÿ ïðè ýòîì öåëüþ ðàçâèòü è ëó÷øå îáîñíîâàòü ó÷åíèå Ïàðìåíèäà. Èç ýòèõ àíòèíîìèé äî íàøåãî âðåìåíè äîøëî òîëüêî 9. Âîò íàèáîëåå õàðàêòåðíûå èç íèõ.

Ïðîòèâ äâèæåíèÿ.

“Дихотомия”. Äâèæåíèÿ íåò, ïîòîìó ÷òî òî, ÷òî äâèæåòñÿ, äîëæíî äîéòè äî ñåðåäèíû, ïðåæäå ÷åì îíî äîéäåò äî êîíöà. Íî åñëè áû òåëî äîøëî äî ñåðåäèíû, îíî äîëæíî áûëî áû ðàíüøå äîéòè äî ñåðåäèíû ýòîé ñåðåäèíû è ò. ä. äî áåñêîíå÷íîñòè, à ýòî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì äâèæåíèå íå ìîæåò íà÷àòüñÿ.

“Ахиллес и черепаха”. Ìåäëåííûé â áåãå íèêîãäà íå áóäåò ïåðåãíàí áûñòðûì, ïîòîìó ÷òî òîò, êòî ïðåñëåäóåò, äîëæåí ñíà÷àëà äîñòè÷ü òî÷êè, èç êîòîðîé íà÷àë óáåãàþùèé, òàê ÷òî óáåãàþùèé âñåãäà áóäåò íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè âïåðåäè.

Çàñëóãà Çåíîíà Ýëåéñêîãî â ðàçâèòèè ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí âûÿâèë ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü âðåìåíè, äâèæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâà, à çíà÷èò è áåñêîíå÷íîñòü. Â. È. Ëåíèí ïèñàë, ÷òî Çåíîí íå îòðèöàë ÷óâñòâåííóþ äîñòîâåðíîñòü äâèæåíèÿ; åãî èíòåðåñîâàë âîïðîñ, êàê âûðàçèòü ñóùíîñòü äâèæåíèÿ â ëîãèêå ïîíÿòèé.

Îäíàêî, Çåíîí ïîñëåäíþþ çàäà÷ó íå ðåøèë, íå ðåøèëè å¸ è äðóãèå ó÷åíûå äðåâíåé Ãðåöèè.

3. Три знаменитых задачи древности

 ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà.

Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.

Трисекция угла. Äàí ÐÀÂÑ, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.

Ðèñ. 2

Удвоение куба. Ïîñòðîèòü

êóá, îáúåì

êîòîðîãî â

äâà ðàçà

áîëüøå

îáúåìà

äàííîãî

êóáà.

Ïîñòðîèòü

êâàäðàò,

ïëîùàäü

êîòîðîãî â

äâà ðàçà

áîëüøå

ïëîùàäè

äàííîãî

êâàäðàòà.

Åñëè

ñòîðîíà

äàííîãî

êâàäðàòà à,

à èñêîìîãî

õ, òî õ2=2à

2; .

Ñëåäîâàòåëüíî,

ñòîðîíà

èñêîìîãî

êâàäðàòà

ðàâíà

äèàãîíàëè

äàííîãî.

Îòñþäà

îñóùåñòâèìîñòü

ïîñòðîåíèÿ

öèðêóëåì è

ëèíåéêîé

èñêîìîãî

êâàäðàòà AA`CC`

(ðèñ. 2).

Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà.

Квадратура круга. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó.

Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé.

4. Преодоление кризиса основ

древнегреческой математики

Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé.

Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí.

×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ðàññìîòðåíèå òðåõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ ïðèâåëî äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ê óáåæäåíèþ, ÷òî ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííûì ñòðîãî ãåîìåòðè÷åñêè ëèøü ïðè óñëîâèè èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî (èäåàëüíûõ) öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Èñïîëüçîâàíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñðåäñòâ â ãåîìåòðèè íå äîïóñêàåòñÿ.

Òîëüêî ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ, Òåýòåòà, Åâäîêñà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ïîñëå ñîãëàøåíèÿ î íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ è äîïóñòèìûõ ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ, Åâêëèä íàïèñàë “Íà÷àëà”, ïîñâÿùåííûå îñíîâàì è ìåòîäàì äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè.  “Íà÷àëàõ” Åâêëèäà êðèçèñ îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí — êîíå÷íî, äëÿ ñâîåãî âðåìåíè, è, äîáàâèì, ïðåîäîëåí íå âî âñåõ ïóíêòàõ è íå âñåãäà ñîâåðøåííûì îáðàçîì.

II. Способы обоснования математики в

математики в конце XVII и в XVIII веке

 êîíöå XVII è â XVIII âåêå âñå âîçðàñòàþùèå çàïðîñû ïðàêòèêè è äðóãèõ íàóê ïîáóæäàëè ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿòü îáëàñòü è ìåòîäû èññëåäîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäâèãàþòñÿ íà ïåðâîå ìåñòî, ñòàíîâÿòñÿ îñíîâîé íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10