: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

1) íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.

Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”.

2) èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.

 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ.

3) ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.

(Àáåëü)

Âî âòîðîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

îáû÷íûå

êîìïëåêñíûå

÷èñëà íàøëè

øèðîêîå

ïðèìåíåíèå

â òåîðèè

ôóíêöèé è

äàæå â

òåîðèè

÷èñåë.  òîæå

âðåìÿ

ðàçðàáîòêà

ïðîáëåì ï

-ìåðíîé

ãåîìåòðèè è

ìåòîäîâ

ìàòåìàòè÷åñêîé

ôèçèêè

ïîòðåáîâàëà

äàëüíåéøåãî

îáîáùåíèÿ

ïîíÿòèÿ

÷èñëà,

ïåðåõîäà ê

íîâîãî âèäà

êîìïëåêñíûì

÷èñëàì ñ ï

îñíîâíûìè

åäèíèöàìè.

Êîìïëåêñíûå

è

ãèïåðêîìïëåêñíûå

÷èñëà ñòàëè

ïðåäñòàâèòåëÿìè

èññëåäóåìûõ

ðåàëüíûõ

âåëè÷èí —

âåêòîðîâ â

ïðîñòðàíñòâå

Rn; îòâåò íà

çàäà÷ó,

âûðàæåííûé

êîìïëåêñíûì

èëè

ãèïåðêîìïëåêñíûì

÷èñëîì, èìåë

â ýòîé

îáëàñòè

îáúåêòèâíûé

ñìûñë.

Îáúÿâëÿòü

êîìïëåêñíûå

(è

ãèïåðêîìïëåêñíûå)

÷èñëà

“ëîæíûìè”,

“âîîáðàæàåìûìè”,

“ìíèìûìè”,

êàê ýòî

äåëàëè

ìàòåìàòèêè

XVII–XVIII âåêîâ,

ñòàëî

íåâîçìîæíûì.

Àðèôìåòèêà

êîìïëåêñíûõ

è

ãèïåðêîìïëåêñíûõ

÷èñåë

ïîêàçàëà

äàëåå, ÷òî

ïåðåõîä ê

íîâîé, áîëåå

øèðîêîé

îáëàñòè

÷èñåë

ñâÿçàí,

âî-ïåðâûõ, ñ

íåîáõîäèìîñòüþ

îáîáùàòü

îïðåäåëåíèÿ

äåéñòâèé,

äàííûõ äëÿ

èñõîäíîé

îáëàñòè

÷èñåë è,

âî-âòîðûõ,

ñîïðîâîæäàåòñÿ

ïîòåðåé

íåêîòîðûõ

ñâîéñòâ,

ïðèñóùèõ

÷èñëàì

èñõîäíîé

îáëàñòè

÷èñåë. Ïðè

ïåðåõîäå îò

äåéñòâèòåëüíûõ

ê

êîìïëåêñíûì

÷èñëàì

ïðèøëîñü

îòêàçàòüñÿ

îò

ñâÿçûâàíèÿ

èõ çíàêàìè >,

<. Â

àðèôìåòèêå

êâàòåðíèîíîâ

ñòàëî

íåîáõîäèìûì

äîïîëíèòåëüíî

îòêàçàòüñÿ

è îò çàêîíà

ïåðåìåñòèòåëüíîñòè

óìíîæåíèÿ.

Çàêîíû

ñ÷åòà —

èñòîðè÷åñêè

ñàìûå

ñòîéêèå, à

ïîýòîìó â

ïîíèìàíèè

ìàòåìàòèêîâ

XVII–XVIII âåêîâ

ñîñòàâëÿþùèå

îñíîâó

“íåèçìåííîé

ñóùíîñòè”

ïîíÿòèÿ

÷èñëà

äåéñòâèÿ.

Ìåòàôèçè÷åñêîå ðàçäåëåíèå ÷èñåë íà “ðåàëüíûå” è “âîîáðàæàåìûå”, òðåáîâàíèå ñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëàõ íà îáû÷íûõ îïðåäåëåíèÿõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, ÷èñòî ôîðìàëüíîå ïîäâåäåíèå íîâûõ ÷èñåë ïîä âñå çàêîíû ÷èñåë èçâåñòíûõ — âñå ýòî îêàçàëîñü îêîí÷àòåëüíî äèñêðåäèòèðîâàííûì.

Ýòè ôàêòû (ñ

ó÷åòîì

îáùèõ

òåíäåíöèé

ðàçâèòèÿ

ñïîñîáîâ

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè)

ïîêàçàëè,

÷òî äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

àðèôìåòèêè

êàêîãî

óãîäíî âèäà

÷èñåë,

îáúåêòèâíîñòü

êîòîðûõ óæå

äîêàçàíà,

äîñòàòî÷íî

ïåðå÷èñëèòü

å¸ îñíîâíûå

ïîíÿòèÿ,

îïðåäåëåíèÿ

è ïîñûëêè,

âûÿñíèòü,

êàêèå

çàêîíû

ñ÷åòà

âûïîëíÿþòñÿ

â

îáîñíîâûâàåìîé

îáëàñòè

÷èñåë, à âñå

îñòàëüíûå

å¸

óòâåðæäåíèÿ

ïîëó÷èòü â

ðåçóëüòàòå

äåäóêöèé. Íà

ýòîì ïóòè

óäàëîñü

îáîñíîâàòü

àðèôìåòèêè

öåëûõ,

ðàöèîíàëüíûõ,

êîìïëåêñíûõ

è

ãèïåðêîìïëåêñíûõ

÷èñåë.

Àðèôìåòèêà

íàòóðàëüíûõ

è

àðèôìåòèêà

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

ïîëó÷èëà

ðåàëüíîå

îáîñíîâàíèå

âî âòîðîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà.

 òåñíîé ñâÿçè ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ÷èñëà è ñ íîâûìè ñïîñîáàìè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íàõîäèòñÿ âîçíèêíîâåíèå èñõîäíûõ èäåé “ôîðìàëüíîé” àëãåáðû. Ýòèìè èäåÿìè ìàòåìàòèêà îáÿçàíà Ïèêîêó, Ãàìèëüòîíó, À. äå Ìîðãàíó, Ãðåãîðè è Ãàíêåëþ.

 ãåîìåòðèè áûëè ñäåëàíû îòêðûòèÿ, èìåþùèå äëÿ å¸ îñíîâàíèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå.

Ëîáà÷åâñêèé è Áîéëè îòêðûëè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ. Ïîíñåëå ðàçðàáîòàë ïðîåêòèâíóþ ãåîìåòðèþ, Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ ï-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèíöèïû ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïîñûëîê “Íà÷àë” Åâêëèäà.

Îäíàêî, â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ ïðèçíàíèÿ íå ïîëó÷èëà. Ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà Ïîíñåëå êàê íàäñòðîéêà íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà; å¸ áîëåå îáùåå ñîäåðæàíèå è ñïåöèôèêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè îñîçíàíû âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Ã. Ãðàññìàí ðàçâèë ñâîå ó÷åíèå íà ðóáåæå ñåðåäèíû XIX âåêà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óêàçàííûå âûâîäû ïîëó÷èëè âïîñëåäñòâèè øèðîêîå ïðèçíàíèå.

Âîò åù¸ îäèí

ðåçóëüòàò,

èìåþùèé

ôóíäàìåíòàëüíîå

çíà÷åíèå

äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè.

Ìàòåìàòèêè

XVII–XVIII âåêîâ

ïûòàëèñü

äîêàçàòü,

÷òî âñÿêîå

óðàâíåíèå

ïÿòîé

ñòåïåíè

ðàçðåøèìî â

ðàäèêàëàõ. Â 1827

ãîäó Àáåëü

äîêàçàë, ÷òî

ýòî

íåâîçìîæíî.

Ïîñêîëüêó

âñå æå

ñóùåñòâóþò

óðàâíåíèÿ

ïÿòîé,

øåñòîé è

äðóãèõ

ñòåïåíåé,

ðàçðåøàåìûå

â ðàäèêàëàõ,

åñòåñòâåííî

âîçíèêàë

âîïðîñ: êàê

îõàðàêòåðèçîâàòü

êëàññ

óðàâíåíèé

äàííîé

ñòåïåíè,

êîòîðûå

äîïóñêàþò

ðåøåíèå â

ðàäèêàëàõ?

Ýòîò âîïðîñ

èìåë è

ïðàêòè÷åñêîå

çíà÷åíèå.

Êàê

ïîêàçàëè

Ýéëåð è

Äàëàìáåð,

èíòåãðèðîâàíèå

ëèíåéíûõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé ï

-ãîïîðÿäêà ñ

ïîñòîÿííûìè

êîýôôèöèåíòàìè

ñâîäèòñÿ ê

íàõîæäåíèþ

êîðíåé

àëãåáðàè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ ï

-é ñòåïåíè.

Òàêèå

äèôôåðåíöèàëüíûå

óðàâíåíèÿ

ÿâëÿþòñÿ

ìàòåìàòè÷åñêèì

àïïàðàòîì

òåîðèè

êîëåáàíèé.

×òîáû

ðåøèòü

óêàçàííûé

âûøå âîïðîñ,

Ý. Ãàëóà

ïîñòðîèë

îñîáûé

ìàòåìàòè÷åñêèé

àïïàðàò, â

êîòîðîì

ãëàâíàÿ ðîëü

îòâîäèòñÿ

ïîíÿòèþ

ãðóïïû.

Âûÿñíèëîñü,

÷òî ïîä

ïîíÿòèå

ãðóïïû

ïîäõîäÿò

ðàçëè÷íûå

îáëàñòè

îáúåêòîâ,

áëàãîäàðÿ

÷åìó îíî

íàõîäèò

ïëîäîòâîðíîå

ïðèìåíåíèå

â ðàçëè÷íûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

äèñöèïëèíàõ.

Îêàçàëîñü

òàêæå, ÷òî

ïîíÿòèå

ãðóïïû

îáíàðóæèâàåò

ñâîþ

äåéñòâåííîñòü

íàèëó÷øèì

îáðàçîì,

êîãäà åãî

òåîðèÿ

îáîñíîâûâàåòñÿ

àáñòðàêòíî,

íåçàâèñèìî

îò îïèñàíèÿ

ïðèðîäû

îáúåêòîâ,

îòíîøåíèÿ

êîòîðûõ åþ

îïèñûâàþòñÿ.

Âïåðâûå âñå

ýòè ôàêòû

îò÷åòëèâî

îñîçíàë è

îïèñàë Êýëè

â 1854 ãîäó; ýòîò

ãîä ïîýòîìó

ñ÷èòàþò

ãîäîì

íà÷àëà

àáñòðàêòíîé

òåîðèè ãðóïï.

Ïîä âëèÿíèåì

âñåõ ýòèõ

ôàêòîâ â

ïåðâîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà

ïðåäïðèíèìàþòñÿ

ïîïûòêè

ðàñøèðèòü

òðàäèöèîííîå

îïðåäåëåíèå

ïðåäìåòà

ìàòåìàòèêè

êàê íàóêè

òîëüêî î

âåëè÷èíàõ è

èõ

èçìåðåíèè.

Íàïðèìåð, äëÿ

Ïóàíñî

ìàòåìàòèêà

— ýòî íàóêà î

ñâîéñòâàõ

÷èñåë,

âåëè÷èíàõ è

ïîðÿäêå.

Áîëüöàíî è

Ãðàññìàí

ñ÷èòàëè, ÷òî

òðàäèöèîííàÿ

òðàêòîâêà î

ïðåäìåòå

ìàòåìàòèêè

íå

îõâàòûâàåò

å¸

ñîäåðæàíèÿ â

öåëîì:

íàïðèìåð, îíî

íå ïðèëîæèìî

ê ó÷åíèþ î

ñî÷åòàíèÿõ.

Äëÿ

Ãðàññìàíà

ìàòåìàòèêà

— ó÷åíèå î

ôîðìàõ,

îäíàêî

ãåîìåòðèÿ ê

ìàòåìàòèêå

íå

ïðèíàäëåæèò.

 1854 ãîäó Äæ.

Áóëü

ïîä÷åðêèâàë,

÷òî “â ïðèðîäå

ìàòåìàòèêè

íå çàëîæåíà

íåîáõîäèìîñòü

çàíèìàòüñÿ

èäåÿìè

÷èñëà è

âåëè÷èíû”.

Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ.

учения о множествах Г. Кантора

Äëÿ ÷åãî

ìàòåìàòèêè

ïîñëåäíèõ

äåñÿòèëåòèé

XIX âåêà

ïîòðåáîâàëîñü

îáùåå

ó÷åíèå î

ìíîæåñòâàõ,

îðãàíè÷åñêè

ñâÿçàííûõ ñ

ïîíÿòèåì

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè?

Ã. Êàíòîð

îòâåòèë íà

ýòîò âîïðîñ

òàê: “.äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

àðèôìåòèêè

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë, äëÿ

äîêàçàòåëüñòâà

ôóíäàìåíòàëüíûõ

òåîðåì

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà è

òåîðèè

òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ

ðÿäîâ”. Ã.

Êàíòîð

óêàçûâàë

òàêæå, ÷òî

èäåè è

ìåòîäû

îáùåãî

ó÷åíèÿ î

ìíîæåñòâàõ

ÿâëÿþòñÿ

äåéñòâåííûìè

îðóäèÿìè

îòûñêàíèÿ

íîâûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

ôàêòîâ è

ðàçâèòèÿ

íîâûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

òåîðèé. Â

ýòîé ñâÿçè

îí ñ÷åë

âîçìîæíûì

óòâåðæäàòü,

÷òî äëÿ

ìàòåìàòèêè

ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

ñóùåñòâåííî

íåîáõîäèìî.

Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”

Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10