: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.

Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.

Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.

Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.

Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.

Åñëè

ìíîæåñòâî

êîíå÷íî,

ïîíÿòèå

ìîùíîñòè

ñîâïàäàåò ñ

ïîíÿòèåì

÷èñëà åãî

ýëåìåíòîâ è

ìîæåò áûòü

âûðàæåíî

êîëè÷åñòâåííûì

íàòóðàëüíûì

÷èñëîì. Â

ñëó÷àÿõ

áåñêîíå÷íûõ

ìíîæåñòâ

íåëüçÿ

ãîâîðèòü î

÷èñëå èõ

ýëåìåíòîâ,

íî êàæäîìó

èç òàêèõ

ìíîæåñòâ

ìîæíî

ïðèïèñàòü

îïðåäåëåííóþ

ìîùíîñòü.

Ïðèíÿòî

îòíîñèòü

êàæäîìó

êëàññó

ìíîæåñòâ

íåêîòîðûé

ñèìâîë

ìîùíîñòè.

Òàê

— ñèìâîë

ìîùíîñòè

ñ÷åòíîãî

ìíîæåñòâà,

ñ — ñèìâîë

ìîùíîñòè

êîíòèíóóìà,

2ò — ñèìâîë

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà

âñåõ

ïîäìíîæåñòâ

ìíîæåñòâà,

ìîùíîñòü

êîòîðîãî

åñòü ò.

Êàæäûé

òàêîé

ñèìâîë

Êàíòîð

íàçâàë

òðàíñôèíèòíûì

÷èñëîì.

2. Трудности построения теории множеств.

Критика концепции Г. Кантора

Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:

Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.

Ïóñòü Ì è N —

êàêèå

óãîäíî

áåñêîíå÷íûå

ìíîæåñòâà,

ò è ï —

ñîîòâåòñòâóþùèå

èì

êàðäèíàëüíûå

òðàíñôèíèòíûå

÷èñëà. Ìîæíî

ëè

óòâåðæäàòü,

÷òî ýòè

÷èñëà

âñåãäà

ìîãóò áûòü

ñâÿçàíû

îäíèì è

òîëüêî îäíèì

èç çíàêîâ =, >, <?

Äëÿ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë ò è ï

ýòî

óòâåðæäåíèå

ñïðàâåäëèâî,

äëÿ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâîñòü

åãî íå

î÷åâèäíà.

Êàíòîð ýòó

ïðîáëåìó íå

ðåøèë, å¸

íàçâàëè

òðèõîòîìèè

. Êàíòîð íå

ñìîã òàêæå

äîêàçàòü

(èëè

îïðîâåðãíóòü),

÷òî äëÿ ëþáûõ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâû

ñîîòíîøåíèÿ:

1) ò+ï=òï;

2) ò=ò2;

3) åñëè ò2=ï2, òî ò=ï;

4) åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;

5) åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.

À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.

Èçâåñòíî, ÷òî x0<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:

õ0<m<c?

Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.

Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë.

Íàèáîëåå

ñåðüåçíûì

ïðîòèâíèêîì

êîíöåïöèè

Êàíòîðà áûë

Ë. Êðîíåêåð. Îí

ñ÷èòàë, ÷òî

äåéñòâèòåëüíî

ñóùåñòâóþùèìè,

ðåàëüíûìè

ìîæíî

ïðèçíàòü

ëèøü

íàòóðàëüíûå

÷èñëà,

âñëåäñòâèå

÷åãî îíè

ÿâëÿþòñÿ

åäèíñòâåííûì

îáúåêòîì

÷èñòîé

ìàòåìàòèêè.

Êðîíåêåð

óòâåðæäàë,

÷òî âñå

òåîðåìû

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ïðàâîìåðíû

ëèøü

ïîñòîëüêó,

ïîñêîëüêó èõ

ìîæíî

èñòîëêîâàòü

êàê

îïèñàíèÿ

çàêîíîâ,

ãîñïîäñòâóþùèõ

â îáëàñòè

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë. Ñ ýòîé

òî÷êè

çðåíèÿ,

ïèñàë

Êàíòîð,

èçâåñòíàÿ

ðåàëüíîñòü

ïðèïèñûâàåòñÿ

òàêæå

ðàöèîíàëüíûì

÷èñëàì,

ïîñêîëüêó

îíè

“íåïîñðåäñòâåííî

âûòåêàþò” èç

àðèôìåòèêè

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Êðîíåêåð

òðàêòîâàë

èððàöèîíàëüíûå

÷èñëà êàê

óäîáíûå

ñèìâîëû äëÿ

îïèñàíèÿ

åäèíûì

ñïîñîáîì

ñâîéñòâ

ãðóïï

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë;

ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

îí ïîëíîñòüþ

îòðèöàë.

Ñëåäóÿ ýòèì

èäåÿì,

Êðîíåêåð

îïóáëèêîâàë

èññëåäîâàíèå,

â êîòîðîì

íàìåòèë

êîíòóðû

íåêîòîðûõ

“âñïîìîãàòåëüíûõ

òåîðèé”, ïî

åãî ìíåíèþ

ïîçâîëÿþùèõ

îñâîáîäèòü

÷èñòóþ

ìàòåìàòèêó

îò

èððàöèîíàëüíûõ

÷èñåë.

Êàíòîð

îòìå÷àë, ÷òî

êîíöåïöèÿ

Êðîíåêåðà, â

ñðàâíåíèè ñ

îáùåïðèçíàííûìè

òåîðèÿìè

÷èñòîé

ìàòåìàòèêè,

îáëàäàåò

íåêîòîðûìè

ïðåèìóùåñòâàìè.

Åñëè ñòðîãî

ïðèäåðæèâàòüñÿ

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà, òî

“âîçìîæíî

ïîòðåáîâàòü”,

÷òîáû

äîêàçàòåëüñòâà

àíàëèòè÷åñêèõ

òåîðåì áûëè

èñïûòàíû ïî

ñâîåìó

“òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó

ñîäåðæàíèþ”

è ÷òîáû

êàæäûé

îáíàðóæèâàþùèéñÿ

â íèõ ïðîáåë

áûë

çàïîëíåí

ñîãëàñíî

ïðèíöèïàì

àðèôìåòèêè.

Â

âîçìîæíîñòè

ïîäîáíîãî

äîïîëíåíèÿ

çàêëþ÷àåòñÿ

íàñòîÿùèé

ïðîáíûé

êàìåíü äëÿ

ïðàâèëüíîñòè

è ïîëíîé

ñòðîãîñòè

äîêàçàòåëüñòâ.

Òàêèå

äîïîëíåíèÿ

ñïîñîáíû

ïðåäîõðàíèòü

èññëåäîâàòåëåé

îò îøèáîê è

óäåðæàòü

ïîëåò èõ

òâîð÷åñêîé

ôàíòàçèè â

íàäëåæàùèõ

ãðàíèöàõ.

Îäíàêî,

ïîä÷åðêèâàë

Êàíòîð,

ìåòîäîëîãè÷åñêèå

ïðèíöèïû

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà íå

ÿâëÿþòñÿ

ïëîäîòâîðíûìè.

“Ìû íå

îáÿçàíû èì

íèêàêèìè

èñòèííûìè

óñïåõàìè è,

åñëè áû ìû â

äåéñòâèòåëüíîñòè

òî÷íî

ðóêîâîäñòâîâàëèñü

èìè, òî

ðàçâèòèå

íàóêè

îñòàíîâèëîñü

áû èëè áûëî

ââåäåíî â

ñàìûå óçêèå

ãðàíèöû.”

Âïðî÷åì,

çàìåòèë

Êàíòîð,

îêîí÷àòåëüíîå

ñóæäåíèå î

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà

ñòàíåò

âîçìîæíûì

ëèøü òîãäà,

êîãäà îíà

áóäåò

ðàçðàáîòàíà

â öåëîì è â

äåòàëÿõ, â

ñâÿçè ñ ÷åì

âûÿñíèòñÿ

å¸

îòíîøåíèå ê

ãåîìåòðèè è

ìåõàíèêå.

Ïîêà ýòîãî

åù¸ íåò,

ïðèãîäíîñòü

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà íå

ìîæåò áûòü

íàçâàíà

äîñòàòî÷íî

îáîñíîâàííîé.

Êðèòè÷åñêèå

çàìå÷àíèÿ

Êàíòîðà â

àäðåñ

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà

èìåþò

ìåòîäîëîãè÷åñêèì

ñòåðæíåì

åãî òðåòüå

“îãðàíè÷èòåëüíîå

òðåáîâàíèå”.

Îíè âåðíû è

íå ïîòåðÿëè

ñâîåãî

çíà÷åíèÿ äî

íàøåãî

âðåìåíè. Íî

âðÿä ëè ìîæíî

íàçâàòü

ïðàâèëüíûì

ñëåäóþùèå

êðèòè÷åñêèå

çàìå÷àíèÿ

Êàíòîðà,

êîòîðûå îí,

ïî-âèäèìîìó,

ñ÷èòàë

íàèáîëåå

ñåðüåçíûìè:

ìîùíîñòü

êîíòèíóóìà

âûøå

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Ñëåäîâàòåëüíî,

çàïàñ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë

íåäîñòàòî÷åí

äëÿ îïèñàíèÿ

òî÷åê

âðåìåííîãî

è

ïðîñòðàíñòâåííîãî

êîíòèíóóìà,

ïîýòîìó

êîíöåïöèÿ

Êðîíåêåðà íå

ìîæåò

ñ÷èòàòüñÿ

ñîâåðøåííîé.

Ýòà

àðãóìåíòàöèÿ

êàíòîðà

îáëàäàåò

äîêàçàòåëüíîé

ñèëîé ëèøü

äëÿ

ïðèâåðæåíöåâ

ó÷åíèÿ î

ñ÷åòíûõ è

íåñ÷åòíûõ

ìíîæåñòâàõ;

åãî

ïðîòèâíèêè

ñ÷èòàòüñÿ ñ

ýòîé

àðãóìåíòàöèåé

Êàíòîðà íå

îáÿçàíû.

Èäåè Êðîíåêåðà â íåêîòîðîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè ñíà÷àëà îôîðìëåíèþ êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà, à ïîòîì è êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè.

Äî ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ XIX âåêà ìàòåìàòèêè, ëîãèêè è ôèëîñîôû ïðèçíàâàëè ïîíÿòèÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, íî îòðèöàëè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè; îíè ñ÷èòàëè åãî âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûì. Íåêîòîðûå èç íèõ ïûòàëèñü ýòî äîêàçàòü. Êàíòîð èçó÷èë ìåòîäîëîãè÷åñêóþ îñíîâó òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ è ïîêàçàë èõ ïîëíóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü.

“Âñå òàê

íàçûâàåìûå

äîêàçàòåëüñòâà

ïðîòèâ

âîçìîæíîñòè

àêòóàëüíî

áåñêîíå÷íûõ

÷èñåë,— ïèñàë

Êàíòîð,—

îøèáî÷íû,

ïîòîìó, ÷òî

÷èñåë. Ìåæäó

òåì,

áåñêîíå÷íûå

÷èñëà — åñëè

òîëüêî èõ

äîëæíî

ìûñëèòü â

êàêîé-íèáóäü

ôîðìå — äîëæíû

îáðàçîâàòü

áëàãîäàðÿ

ñâîåé

ïðîòèâîïîëîæíîñòè

ê êîíå÷íûì

÷èñëàì

ñîâåðøåííî

íîâûé

÷èñëîâîé

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10