: Три кризиса в развитии математики

àëåîðîâ

çàíèìàåò Ñ

— ýòî

îñòàâàëîñü

íåèçâåñòíûì.

Ê ýòîìó

ìîæíî òîëüêî

ïðèáàâèòü,

÷òî

äîêàçàòåëüñòâà

ýêâèâàëåíòíîñòè

äðóã äðóãó

íåêîòîðûõ

ôîðì

ãèïîòåçû

êîíòèíóóìà

òàêæå

îïèðàþòñÿ

íà àêñèîìó

Öåðìåëî.

Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.

 20-õ è 30-õ ãîäàõ

ÕÕ âåêà ïîëå

ïðèëîæåíèÿ

àêñèîìû

Öåðìåëî

çíà÷èòåëüíî

ðàñøèðèëîñü.

Ìîæíî,

íàïðèìåð,

óêàçàòü íà

èññëåäîâàíèÿ

Áèðêãîôà

ñèñòåì

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé, â

êîòîðûõ îí

ïðèìåíÿë

òðàíñôèíèòíóþ

èíäóêöèþ.

Îñîáåííî

âàæíî

óêàçàòü íà

òåîðèþ

ëèíåéíûõ

îïåðàòîðîâ,

êîòîðóþ Æ.

Àäàìàð â

íà÷àëå 30-õ

ãîäîâ

íàçûâàë

íàèáîëåå

ñèëüíûì

ìåòîäîì

èññëåäîâàíèÿ

ñîâðåìåííîé

ìàòåìàòèêè.

Òåîðèÿ

ëèíåéíûõ

îïåðàòîðîâ

ðàçâèâàåòñÿ

íà áàçå

îáùåãî

ó÷åíèÿ î

ìíîæåñòâàõ

è ïîëüçóåòñÿ

àêñèîìîé

Öåðìåëî äëÿ

óñòàíîâëåíèÿ

íåêîòîðûõ

âàæíåéøèõ

ñâîèõ

ïðåäëîæåíèé.

Øèðîêîå ïîëå

äëÿ

ïðèìåíåíèÿ

àêñèîìû

Öåðìåëî äàëè

àëãåáðà è

òîïîëîãèÿ.

Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.

Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.

Ðàññìîòðèì

âñå ôóíêöèè

äåéñòâèòåëüíîãî

ïåðåìåííîãî

õ,

îïðåäåëåííûå

íà ñåãìåíòå

[0, 1] è íå ðàâíûå

íà ýòîì

ñåãìåíòå

òîæäåñòâåííî

íóëþ.

Ðàçäåëèì

ýòè ôóíêöèè

íà ïàðû,

îòíîñÿ â

îäíó ïàðó

òàêèå äâå

ôóíêöèè,

êîòîðûå

îòëè÷àþòñÿ

òîëüêî

çíàêîì, ò. å.

ôóíêöèè f(x)ï–f(x).

Ïî àêñèîìå

Öåðìåëî

ñóùåñòâóåò

ìíîæåñòâî Ð

, âêëþ÷àþùåå

ïî îäíîé è

òîëüêî îäíîé

ôóíêöèè

êàæäîé ïàðû.

Ñëåäîâàòåëüíî,

ñîãëàñíî

àêñèîìå

Öåðìåëî,

ìîæíî

óòâåðæäàòü

ñóùåñòâîâàíèå

Ð ôóíêöèé

äåéñòâèòåëüíîãî

ïåðåìåííîãî

õ,

îïðåäåëÿåìûõ

íà ñåãìåíòå

[0, 1] è íå ðàâíûõ

íà ýòîì

ñåãìåíòå

òîæäåñòâåííî

íóëþ, òàêîãî,

÷òî

à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1 è f2 ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà ;

á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+j=0, ëèáî f–j=0 äëÿ ëþáîãî õ, .

Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.

5. Проблема существования в математике

 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).

2.  òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.

3. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.

Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.

×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.

Äîêàæåì, ÷òî

êàêîâû áû íè

áûëè

íàòóðàëüíûå

÷èñëà Ð1, ., Ð

ï,

ñóùåñòâóåò

íàòóðàëüíîå

÷èñëî Ð,

âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

ýòèõ ÷èñåë.

Ðàññìîòðèì

÷èñëî Ð=Ð1*.*Ð

ï+1; ïðè

äåëåíèè íà

ëþáîå èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï ýòî ÷èñëî

äàåò â

îñòàòêå 1.

Ñëåäîâàòåëüíî,

îíî âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï. Èòàê,

÷èñëî Ð

ñóùåñòâóåò.

Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.

Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.

Ðàññìîòðèì

òåïåðü

äðóãîé

ïðèìåð. ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

àëãåáðàè÷åñêèì,

åñëè îíî

ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì

êàêîãî-ëèáî

àëãåáðàè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ ñ

öåëûìè

êîýôôèöèåíòàìè.

Íàïðèìåð,

÷èñëî

àëãåáðàè÷åñêîå,

ò. ê. îíî

ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì

óðàâíåíèÿ õ

2–2=0. Íàïðîòèâ,

÷èñëî, íå

óäîâëåòâîðÿþùåå

íèêàêîìó

àëãåáðàè÷åñêîìó

óðàâíåíèþ ñ

öåëûìè

êîýôôèöèåíòàìè,

íàçûâàåòñÿ

òðàíñöåíäåíòíûì

÷èñëîì.

Äîêàæåì,

ñëåäóÿ

Êàíòîðó,

ñóùåñòâîâàíèå

òðàíñöåíäåíòíûõ

÷èñåë.

Èçâåñòíî,

÷òî

ìíîæåñòâî

âñåõ

àëãåáðàè÷åñêèõ

÷èñåë

ñ÷¸òíî, â òî

âðåìÿ êàê

ìíîæåñòâî

âñåõ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

íåñ÷¸òíî.

Åñëè áû

òðàíñöåíäåíòíûå

÷èñëà íå

ñóùåñòâîâàëè,

êàæäîå

äåéñòâèòåëüíîå

÷èñëî áûëî

áû

àëãåáðàè÷åñêèì

è,

ñëåäîâàòåëüíî,

ìíîæåñòâî

âñåõ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë áûëî

áû ñ÷åòíûì.

÷òîáû

èçáåæàòü

ïðîòèâîðå÷èÿ

îñòàåòñÿ

ïðèíÿòü, ÷òî

òðàíñöåíäåíòíûå

÷èñëà

ñóùåñòâóþò,

õîòü

äîêàçàòåëüñòâî

íå äàåò íàì

íè îäíîãî

ïðèìåðà

òðàíñöåíäåíòíîãî

÷èñëà. Ýòî

ïðèìåð

íåýôôåêòèâíîãî

äîêàçàòåëüñòâà.

Â

íåýôôåêòèâíûõ

äîêàçàòåëüñòâàõ

ñóùåñòâîâàíèÿ

(îñíîâàííûå,

íàïðèìåð, íà

ïðèíöèïå

èñêëþ÷åííîãî

òðåòüåãî) íå

äàåòñÿ

íèêàêîãî

ïðèìåðà

îáúåêòîâ,

ñóùåñòâîâàíèå

êîòîðûõ

äîêàçûâàåòñÿ.

Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü?

Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé.

Список литературы.

1. È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.

2. À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè.

3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.

4. Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè.

5. Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.

6. Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.

7. È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî.

8. Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10