: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

âèä,

ñâîéñòâà

êîòîðîãî

âïîëíå

çàâèñÿò îò

ïðèðîäû

âåùåé è

îáðàçóþò

ïðåäìåò

èññëåäîâàíèÿ,

à íå íàøåãî

ïðîèçâîëà

èëè íàøèõ

ïðåäðàññóäêîâ.”

Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.

3. Парадоксы (антиномии)

теории множеств

Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.

Парадокс Бурали-Форти.

Ïóñòü Ð —

ìíîæåñòâî

âñåõ

ïîðÿäêîâûõ

÷èñåë. Ýòî

ìíîæåñòâî

âïîëíå

óïîðÿäî÷åíî;

ñëåäîâàòåëüíî,

îíî

îïðåäåëÿåò

íåêîòîðîå

îðäèíàðíîå

òðàíñôèíèòíîå

÷èñëî ð.

Åñëè Ðð —

ìíîæåñòâî

ïîðÿäêîâûõ

÷èñåë

ìåíüøå ð, òî

Ðð èìååò

òîò æå

ïîðÿäêîâûé

òèï, ÷òî è Ð.

Íî Ðð —

îòðåçîê

ìíîæåñòâà Ð

,

îïðåäåëÿåìûé

÷èñëîì ð.

Ñëåäîâàòåëüíî

Ð è åãî

îòðåçîê Ðð

ïîäîáíû äðóã

äðóãó. Íî

Êàíòîð

äîêàçàë, ÷òî

âïîëíå

óïîðÿäî÷åííîå

ìíîæåñòâî

íå ìîæåò

áûòü ïîäîáíî

ëþáîìó

ñâîåìó

îòðåçêó.

 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.

Парадокс Кантора.

Ïóñòü N —

ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ìíîæåñòâ, S

—ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ïîäìíîæåñòâ

ìíîæåñòâà N.

Ïîñêîëüêó

ìîùíîñòü

ìíîæåñòâà

âñåõ

âîçìîæíûõ

ïîäìíîæåñòâ

ëþáîãî

ìíîæåñòâà

èìååò

ìîùíîñòü,

áîëüøóþ

ìîùíîñòè

ýòîãî

ìíîæåñòâà,

òî ìîùíîñòü

S äîëæíà áûòü

áîëüøå

ìîùíîñòè N.

Ñ äðóãîé

ñòîðîíû,

ìíîæåñòâî N

åñòü

ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ìíîæåñòâ;

ñëåäîâàòåëüíî

S ÿâëÿåòñÿ

ïîäìíîæåñòâîì

N. Íî

ìîùíîñòü

ïîäìíîæåñòâà

íå áîëüøå

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà;

çíà÷èò

ìîùíîñòü S

íå áîëüøå

ìîùíîñòè N.

Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.

Парадокс Рассела.

Î íåêîòîðûõ

ìíîæåñòâàõ

ìîæíî

ñêàçàòü, ÷òî

îíè

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîåãî

ýëåìåíòà;

òàêîâî,

íàïðèìåð,

ìíîæåñòâî

âñåõ

ìíîæåñòâ.

Ðàñïðåäåëèì

âñå

âîçìîæíûå

ìíîæåñòâà

íà äâà

êëàññà. Ê

ïåðâûì

îòíåñåì òå

ìíîæåñòâà,

êîòîðûå íå

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîèõ

ýëåìåíòîâ.

Êî âòîðîìó

îòíåñåì âñå

îñòàëüíûå, ò.

å. êîòîðûå

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîèõ

ýëåìåíòîâ.

Ðàññìîòðèì

ïåðâûé êëàññ

ìíîæåñòâ.

Ýòîò êëàññ

ìíîæåñòâ â

ñâîþ î÷åðåäü

ÿâëÿåòñÿ

íåêîòîðûì

ìíîæåñòâîì

N, à ïîòîìó

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó èëè

êî âòîðîìó

êëàññó.

Äîïóñòèì,

÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó.

Ïåðâûé êëàññ

— ýòî êëàññ

ìíîæåñòâ,

êàæäîå èç

êîòîðûõ íå

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Íî

åñëè N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó, òî

òàê êàê

ìíîæåñòâî N

åñòü

ìíîæåñòâî

âñåõ

ìíîæåñòâ

ïåðâîãî

êëàññà, îíî

äîëæíî

ñîäåðæàòü è

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà.

Èòàê, åñëè

ìíîæåñòâî N

íå ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà, òî

îíî ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà,

ñëåäîâàòåëüíî

íåëüçÿ

ïðåäïîëàãàòü,

÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó.

Ïðåäïîëîæèì

òåïåðü, ÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

êî âòîðîìó

êëàññó, ò. å.

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Íî

ýëåìåíòàìè

ìíîæåñòâà N

ÿâëÿþòñÿ

òîëüêî

ìíîæåñòâà,

íå

ñîäåðæàùèå

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà.

Ñëåäîâàòåëüíî,

åñëè N

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà, òî

N íå ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Ìû

îïÿòü ïðèøëè

ê

ïðîòèâîðå÷èþ

è âûíóæäåíû

ïðèçíàòü,

÷òî

ìíîæåñòâî N

íå ìîæåò íè

ïðèíàäëåæàòü,

íè íå

ïðèíàäëåæàòü

ê ïåðâîìó

êëàññó.

 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.

4. Аксиоматические построения

теории множеств по Цермело

Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.

Âïåðâûå

àêñèîìàòè÷åñêîå

ïîñòðîåíèå

òåîðèè

ìíîæåñòâ

îñóùåñòâèë

Ý. Öåðìåëî â 1908

ãîäó.

Âïîñëåäñòâèè

àêñèîíîìàòèêà

Öåðìåëî áûëà

äîïîëíåíà è

âèäîèçìåíåíà

â ðàáîòàõ À.

Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò.

Ñêîëåìà (1922-1923, 1929),

Äæ. Íåéìàíà (1925,

1928), Ï. Áåðíàéñà

(1937-1954) è äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ.

Òàê, Ôðåíêåëü

äîïîëíèë

àêñèîíîìàòèêó

Öåðìåëî

îäíîé

àêñèîìîé,

ïîñëå ÷åãî

ïîëó÷èëàñü

íîâàÿ

ñèñòåìà

àêñèîì — å¸

íàçâàëè

ñèñòåìîé

Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ

— áîëåå

ñèëüíàÿ, ÷åì

èñõîäíàÿ

ñèñòåìà

àêñèîì

Öåðìåëî. Â

îòëè÷èå îò

ñèñòåìû

Öåðìåëî,

îáîçíà÷àåìîé

îáû÷íî

áóêâîé Z,

ñèñòåìó

Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ

îáîçíà÷àþò

äâóìÿ

áóêâàìè: ZF. Ñ

ïîìîùüþ ZF

ìîæíî

ïîëó÷èòü ðÿä

ôóíäàìåíòàëüíûõ

ðåçóëüòàòîâ,

íå

äîêàçóåìûõ

ñ ïîìîùüþ Z.

Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.

Îñíîâíîé

çàìûñåë

Öåðìåëî

ñîñòîÿë â

òîì, ÷òîáû

îãðàíè÷èòü

îáëàñòü

ïðèìåíåíèÿ

àêñèîíîìàòèêè

Z òîëüêî

òàêèìè

ìíîæåñòâàìè,

ðàññìîòðåíèå

êîòîðûõ íå

ïðèâîäèò ê

ïàðàäîêñàì.

Âïîñëåäñòâèè,

ïðè

ðàçðàáîòêå

íîâûõ

âàðèàíòîâ

àêñèîíîìàòèêè

òåîðèè

ìíîæåñòâ,

ýòà

îãðàíè÷èòåëüíàÿ

òåíäåíöèÿ

ïîëó÷èëà

âñåîáùåå

ïðèçíàíèå.

Ïîçâîëèòåëüíî,

îäíàêî,

äóìàòü, ÷òî â

îäíîì

ñóùåñòâåííîì

ïóíêòå îíà

íå îòâå÷àåò

îñíîâíûì

óñòàíîâêàì

è çàìûñëó

ñàìîãî Ã.

Êàíòîðà.

Êàíòîð

ñòðåìèëñÿ

ðàçâèòü

òåîðèþ

ìíîæåñòâ âî

âñåé

îáùíîñòè,

êàê òåîðèþ,

îòíîñÿùóþñÿ

ê ëþáûì

ìíîæåñòâàì;

íàçâàííàÿ

îãðàíè÷èòåëüíàÿ

òåíäåíöèÿ

áûëà äëÿ íåãî

ñîâåðøåííî

÷óæäîé.

Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):

Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.

Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.

Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.

Îïèðàÿñü íà

ýòó àêñèîìó

Öåðìåëî

äîêàçàë, ÷òî

åñòü àëåîð.

Êàê

óêàçûâàëîñü

âûøå, ýòîò

ôàêò

îáåñïå÷èâàåò

âîçìîæíîñòü

ïîñòðîåíèÿ

àðèôìåòèêè

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë ïî÷òè

âî âñåé

îáùíîñòè.

Äîñòàòî÷íî

ñêàçàòü, ÷òî

àêñèîìà

Öåðìåëî

ïîçâîëÿåò

ðåøèòü â

óòâåðäèòåëüíîì

ñìûñëå

ïðîáëåìó

òðèõîòîìèè

è äàåò

îáîñíîâàíèå

òðàíñôèíèòíîé

èíäóêöèè.

Òîëüêî

ãèïîòåçà

êîíòèíóóìà

îñòàâàëàñü

ïî ïðåæíåìó

çàãàäêîé.

Öåðìåëî ìîã

óòâåðæäàòü,

÷òî

ìîùíîñòü

êîíòèíóóìà

åñòü àëåîð,

íî êàêîå

ìåñòî íà

øêàëå

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10