: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

ïåðåìåííîé,

êîòîðàÿ ê

íåìó

ïðèáëèæàåòñÿ.

Äàæå â 40-õ

ãîäàõ

ïðîøëîãî

ñòîëåòèÿ Â. Â.

Áó­íèêîâñêèé

ñ÷èòàë

çàäà÷åé

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

“óëîâèòü

îòíîøåíèÿ

èçìåíÿþùèõñÿ

ïî

èçâåñòíîìó

çàêîíó

âåëè÷èí â òî

ñàìîå

ìãíîâåíèå,

èñ÷åçàþò”, ò.

å. óëîâèòü

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

îòíîøåíèÿ

ïåðåìåííûõ.

Êàê ìû

óâèäèì ýòà

óçêàÿ (íî

âûäàâàåìàÿ

çà âñåîáùóþ)

òðàêòîâêà

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà

ñûãðàëà

îñîáî

âàæíóþ ðîëü â

ðàçâåðòûâàíèè

òðóäíîñòåé

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà â XVIII è

íà÷àëå XIX

âåêà.

Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïîëàãàëè òàêæå, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) â êàæäîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà èìååò ïðîèçâîäíóþ f`(x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÷àñòî ïîëàãàëè âîçìîæíûì ïðåäñòàâèòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ êðèâîé, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, â êàæäîé òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ.

 ïåðâîé

ïîëîâèíå XVIII

âåêà

ïîíÿòèå

÷èñëà

îïðåäåëÿëîñü

÷àùå âñåãî

ïî Åâêëèäó:

÷èñëî åñòü

ñîâîêóïíîñòü

åäèíèö. Âî

âòîðîé

ïîëîâèíå XVIII

âåêà ÷èñëî

èñòîëêîâûâàåòñÿ

ïðåèìóùåñòâåííî

êàê

ðåçóëüòàò

èçìåðåíèÿ

îäíîé

âåëè÷èíû

äðóãîé

âåëè÷èíîé

òîãî æå ðîäà,

ïðèíÿòîé çà

åäèíèöó. Íî

äàæå

ïîñëåäíåå,

çíà÷èòåëüíî

áîëåå

øèðîêîå,

èñòîëêîâàíèå

ïîíÿòèÿ

÷èñëà íå

îõâàòûâàëî

âñå â òî

âðåìÿ

èçâåñòíûå

âèäû ÷èñåë.

Äîñòàòî÷íî

âñïîìíèòü,

÷òî â XVII–XVIII

âåêàõ

ìàòåìàòèêè

çíàëè è ñ

óñïåõîì

èñïîëüçîâàëè

ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà.

Ïîýòîìó,

íàðÿäó ñ

ïîíÿòèåì

÷èñëà,

ïðèáåãàëè ê

ïðèáåãàëè ê

ïîíÿòèÿì î

ïîëîæèòåëüíûõ

è

îòðèöàòåëüíûõ

âåëè÷èíàõ, î

ìíèìûõ

âåëè÷èíàõ, î

âåëè÷èíàõ

ðåàëüíûõ è

ëîæíûõ è ò. ï.

Àëãåáðà òðàêòîâàëàñü êàê íàóêà, èçó÷àþùàÿ òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ïîëàãàëè, ÷òî êàæäàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ — òðèãîíîìåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàäñòðîéêîé íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà è ïîýòîìó äîëæíà ñòðîèòüñÿ íà ôóíäàìåíòå ïîñëåäíåé.

Êîãäà îïèñàííûå âûøå èñòîëêîâàíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ïðèíöèïîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ ïàðàäîêñû; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèëè ê ëîæíûì çàêëþ÷åíèÿì, êîòîðûå, îäíàêî, ñ÷èòàëè èñòèííûìè.

Ïàðàäîêñû (è

ëîæíûå

çàêëþ÷åíèÿ)

îáíàðóæèëèñü

âïåðâûå â XVI–XVII

âåêàõ â

ó÷åíèè î

÷èñëå. Îíè

ñîõðàíèëè

ñâîþ ñèëó è â

XVIII âåêå.

Îñíîâîé èõ

áûëî òî, ÷òî

ïî÷òè äî

êîíöà XVIII âåêà

áîëüøèíñòâî

ìàòåìàòèêîâ

ïûòàëèñü

ïîñòðîèòü

ó÷åíèå î

÷èñëå (âïëîòü

äî

àðèôìåòèêè

êîìïëåêñíûõ

÷èñåë!) íà

ôóíäàìåíòå,

â ñâîå âðåìÿ

ðàçðàáîòàííîì

äëÿ

àðèôìåòèêè

êîëè÷åñòâåííûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Îáû÷íûå,

âåðíûå äëÿ

êîëè÷åñòâåí­íûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë,

îïðåäåëåíèÿ

àðèôìåòè÷åñêèõ

äåéñò­âèé è

âñå ïÿòü

çàêîíîâ

ñ÷åòà

çàðàíåå ïðè

ýòîì

ñ÷èòàëèñü

ñïðàâåäëèâûìè

â êàæäîé

îáëàñòè

÷èñåë. Â

ñâÿçè ñ ýòèì

íàõîäÿòñÿ

õàðàêòåðíûå

äëÿ âòîðîé

ïîëîâèíû XVII è XVIII

âåêà

“äîêàçàòåëüñòâà”

ïðàâèëà

çíàêîâ (–a)(–b)=+ab;

ñîìíåíèÿ â

èñòèííîñòè

ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1

(“êàê áîëüøåå,

äåëåííîå íà

ìåíüøåå,

ìîæåò áûòü

ðàâíî

ìåíüøåìó,

äåëåííîìó

íà áîëüøåå?”);

îòðèöàíèå

îáúåêòèâíîñòè

ïîíÿòèÿ

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà è ò. ï.

Îäíàêî, äî

íà÷àëà XIX

âåêà

òðóäíîñòè

îáîñíîâàíèÿ

ó÷åíèÿ î

÷èñëå íå

ìåøàëè

óñïåøíîìó

èñïîëüçîâàíèþ

ïîíÿòèÿ

÷èñëà â

ìàòåìàòèêå,

òî÷íûõ

íàóêàõ è

òåõíèêå. Ýòî

èìåëî

îñíîâàíèåì

òî, ÷òî â

ëþáîé

îáëàñòè

÷èñåë, îò

íàòóðàëüíûõ

äî

êîìïëåêñíûõ,

âñå ïÿòü

çàêîíîâ

ñ÷åòà

âûïîëíÿþòñÿ.

Êðîìå òîãî, â

ýòîò ïåðèîä â

ìàòåìàòèêå

âåäóùåå

ïîëîæåíèå

ïðèíàäëåæàëî

ìàòåìàòè÷åñêîìó

àíàëèçó.

Ïîýòîìó

âîïðîñû

îáîñíîâàíèÿ

ó÷åíèÿ î

÷èñëå õîòÿ è

îáñóæäàëèñü

àêòèâíî, íî â

äåëå

ðàçðàáîòêè

îñíîâ

ìàòåìàòèêè

èãðàëè

âòîðîñòåïåííóþ

ðîëü.

Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.

Ëåéáíèö è

åãî

ïîñëåäîâàòåëè

— áðàòüÿ

Áåðíóëëè,

Ëîïèíòàëü è

äðóãèå —

òðàêòîâàëè

äèôôåðåíöèàëû

êàê

áåñêîíå÷íî

ìàëûå

ðàçíîñòè

âåëè÷èí,

êàê òîãäà

ãîâîðèëè —

“ðåàëüíûõ”

âåëè÷èí.

Ïîýòîìó îíè

îáðàùàëèñü

ñ òåìè è

äðóãèìè

îäèíàêîâî è

â

èñ÷èñëåíèè

ïðèìåíÿëè ê

ïåðâûì òå æå

ïðèåìû,

êîòîðûå

ñïðàâåäëèâû

ïðè

äåéñòâèÿõ

ñî âòîðûìè.

Âìåñòå ñ òåì

âûÿñíèëîñü,

÷òî òàêèì

îáðàçîì

òðàêòóåìûì

âåëè÷èí:

åñëè À —

êîíå÷íàÿ

âåëè÷èíà, à a

— áåñêîíå÷íî

ìàëàÿ, òî,

÷òîáû

ðåçóëüòàò

èñ÷èñ­ëåíèÿ

ïîëó÷àëñÿ

ñîâåðøåííî

òî÷íûì,

îêàçàëîñü

íåîáõîäèìûì

ïðîâîäèòü

âû÷èñëåíèÿ

â

ïðåäïîëîæåíèè,

÷òî À+a=À.

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè áûëî âíå ñîìíåíèé, îêàçàëîñü â ïàðàäîêñàëüíîì ïîëîæåíèè: ÷òîáû åãî ìåòîäàìè ïîëó÷èòü òî÷íûé ðåçóëüòàò, íàäî áûëî èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî óòâåðæäåíèÿ.

Íüþòîí ïûòàëñÿ îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà çàêîíàõ ìåõàíèêè è ïîíÿòèè ïðåäåëà. Íî åìó íå óäàëîñü îñâîáîäèòü ñâîå èñ÷èñëåíèå ôëþêñèé îò íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ Ëåéáíèöà.  ïðàêòèêå âû÷èñëåíèÿ Íüþòîí, êàê è Ëåéáíèö, ïðèìåíÿë ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ.

Ê. Ìàðêñ íàçûâàë äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå Ëåéáíèöà–Íüþòîíà ìèñòè÷åñêèì. Ýòèì îí õîòåë â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîä÷åðêíóòü, ÷òî Ëåéáíèö è Íüþòîí ââîäèëè â äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ìåòàôèçè÷åñêè, ñðàçó ïîëàãàÿ èõ ñóùåñòâóþùèìè, áåç âûÿñíåíèÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ è áåç àíàëèçà ïðèðîäû èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ.

Ïàðàäîêñû âîçíèêëè è â òåîðèè ðÿäîâ. Íàïðèìåð, â XVIII âåêå ïîëàãàëè, ÷òî “ñóììà ðÿäà”

ðàâíà 0, òàê êàê

à

.

Ìíîãî ñïîðîâ âûçâàë âîïðîñ î “ñóììå” ðÿäà

1–1+1–1.

ïîñêîëüêó, êàê ãîâîðèëè, “ñ îäíîé ñòîðîíû,

(1–1)+(1–1).=0,

à ñ äðóãîé —

1–(1–1)-(1–1).=1”.

Ïîïûòêè ïîñòðîèòü àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ñ ñàìîãî íà÷àëà ê óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì íå ïðèâåëè. Ïîýòîìó Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè ïûòàëèñü îïðàâäàòü ïðèíöèïû àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ òàêæå ïóòåì ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé, êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè âû÷èñëåíèè âûñîòû ãîðû, ïîñðåäñòâîì ññûëîê íà âåðîÿòíîñòü è ò. ï.

 XVII–XVIII âåêàõ

ïîëó÷èë

ðàçâèòèå è

äðóãîé

ïîäõîä ê

“ñîãëàñîâàíèþ”

íîâûõ èñòèí

ìàòåìàòèêè

ñ “âå÷íûìè”

èñòèíàìè

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Êîãäà

ïîíÿòèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîé

òåîðèè ðåçêî

îòëè÷àëèñü

îò

ðàññìàòðèâàåìûõ

â “íèçøåé”

ìàòåìàòèêå,

îíè

îáúÿâëÿëèñü

“âîîáðàæàåìûìè”

è

ðàññìàòðèâàëèñü

êàê

âñïîìîãàòåëüíûå

ôóíêöèè,

íåîáõîäèìûå

äëÿ

èçó÷åíèÿ

ñâîéñòâ

îáû÷íûõ

êîíå÷íûõ

âåëè÷èí.

Êðóïíåéøèå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

íåîäíîêðàòíî

ïûòàëèñü

äîêàçàòü,

÷òî ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà íå

äîïóñêàåò

íèêàêîãî

ðåàëüíîãî

èñòîëêîâàíèÿ.

Òàêèå æå

ïîïûòêè

ïðèíèìàëèñü

è â

îòíîøåíèè

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

âåëè÷èíû. Íî

è íà ýòîì

ïóòè

óñòàíîâèòü

åäèíñòâî

ìíåíèé íå

óäàëîñü. Â

ýòî âðåìÿ,

êàæäàÿ

çàäà÷à,

îòíîñÿùàÿñÿ

ê âåëè÷èíàì,

èçó÷àåìûì â

ìåõàíèêå,

àñòðîíîìèè,

òåõíèêå è ò.

ï., åñëè è

äîïóñêàëî

ðåøåíèå, òî

îáû÷íî

ïîñëåäíåå

âûðàæàëîñü

ïðè ïîìîùè

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

(äåéñòâèòåëüíûõ

êîðíåé);

êîìïëåêñíûå

÷èñëà

(êîìïëåêñíûå

êîðíè)

óêàçûâàëè

íà

íåâîçìîæíîñòü

å¸ ðåøåíèÿ. Â

êîíöå XVII è â XVIII

âåêå òîëüêî

íåñêîëüêî

ìàòåìàòèêîâ

— Âàëëèñ, Êþí, â

êîíöå æèçíè

Ýéëåð —

ñ÷èòàëè

ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà

äîïóñêàþùèì

ðåàëüíîå

èñòîëêîâàíèå.

 êîíöå XVIII âåêà

Âåññåëü

ðàçðàáîòàë

ïîëíîå

ãåîìåòðè÷åñêîå

èñòîëêîâàíèå

àðèôìåòèêè

êîìïëåêñíûõ

÷èñåë. Ïî

îñíîâíûì

ñâîéñòâîì,

âàæíûì äëÿ

àëãîðèòìîâ

àëãåáðû è

àíàëèçà,

êîìïëåêñíûå

÷èñëà íå

îòëè÷àþòñÿ

îò ÷èñåë

äåéñòâèòåëüíûõ.

Ïðåäñòàâëÿëàñü

âîçìîæíîñòü

îáúÿâèòü

êîìïëåêñíûå

÷èñëà

“âîîáðàæàåìûìè”

è, îáîéäÿ

âîïðîñû

îáîñíîâàíèÿ

èõ

àðèôìåòèêè,

îñòàâèòü èõ

â

ìàòåìàòèêå

â êà÷åñòâå

“ïîëåçíûõ

âñïîìîãàòåëüíûõ

ôóíêöèé”.

Íàïðîòèâ,

òðàêòîâêà

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ êàê

“ïîëåçíûõ

ôóíêöèé”

øèðîêîãî

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10