: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

 êîíöå XVII è â XVIII

âåêå â

ìàòåìàòèêå

è ìåõàíèêå

áûëè

ïîëó÷åíû

êëàññè÷åñêèå

ðåçóëüòàòû

ôóíäàìåíòàëüíîãî

çíà÷åíèÿ.

Îñíîâíûì

çäåñü áûëî

ðàçâèòèå

äèôôåðåíöèàëüíîãî

è

èíòåãðàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ,

òåîðèè

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé,

âàðèàöèîííîãî

èñ÷èñëåíèÿ

è

àíàëèòè÷åñêîé

ìåõàíèêè.

Çíà÷èòåëüíûå

ðåçóëüòàòû

áûëè

ïîëó÷åíû â

àëãåáðå è

òåîðèè

÷èñåë. À.

Ýéëåð, à âñëåä

çà íèì è

íåêîòîðûå

äðóãèå

ó÷åíûå

âòîðîé

ïîëîâèíû XVIII

âåêà

ïðîäåëàëè

áîëüøóþ

ðàáîòó ïî

ñèñòåìàòèçàöèè

ñîäåðæàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

äèñöèïëèí, â

ïåðâóþ

î÷åðåäü

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà, à

âìåñòå ñ íèì

àëãåáðû è

òðèãîíîìåòðèè.

Âìåñòå ñ òåì, â ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé — îñîáåííî äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ðåçêî îòñòàâàëè îò áóðíî ðàçâèâàþùåãîñÿ ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ýòî îòñòàâàíèå ïðîÿâèëîñü â ðàçëè÷íûõ, ìåæäó ñîáîé ñâÿçàííûõ ôîðìàõ è ïðèòîì ñâîåîáðàçíî â îòäåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ.

Îáùåé

÷åðòîé

ïîïûòîê

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè

ñ êîíöà XVII è

ïëàíîìåðíî

äî ïîñëåäíåé

÷åòâåðòè XVIII

âåêà áûëî

ñòðåìëåíèå

îáîñíîâàòü

êàæäóþ

ìàòåìàòè÷åñêóþ

òåîðèþ â

ïîëíîì

ñîîòâåòñòâèè

ñ èñòèíàìè

ýëåìåíòàðíîé,

“íèçøåé” (ïî

òåðìèíîëîãèè

Ô. Ýíãåëüñà)

ìàòåìàòèêè,

ò. å.

ãåîìåòðèè.

Ýòî

ñòðåìëåíèå

ïðîÿâèëîñü â

äâóõ ôîðìàõ.

Ñíà÷àëà

ìàòåìàòèêè

ïûòàëèñü

âîçäâèãíóòü

ðàçâèâàåìûå

èìè

ìàòåìàòè÷åñêèå

òåîðèè íà

ôóíäàìåíòå,

ïîñòðîåííîì

â ñâîå âðåìÿ

äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Ýòî õîðîøî

ïîêàçûâàþò

ãîñïîäñòâîâàâøèå

â òî âðåìÿ

ñïîñîáû

îáîñíîâàíèÿ

àëãåáðû è

ó÷åíèÿ î

÷èñëå. Åñëè

æå òàêîå

ïîñòðîåíèå

ÿâíî íå

óäàâàëîñü

(÷òî áûëî

îñîáåííî

ÿñíî â

îòíîøåíèè

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

ñ ìîìåíòà

åãî

âîçíèêíîâåíèÿ),

òî

ñòàðàëèñü

îáîñíîâàòü

ìàòåìàòè÷åñêóþ

òåîðèþ íà

ïðèíöèïàõ,

ñïåöèàëüíî

äëÿ íå¸

ðàçðàáîòàííûõ,

ñîäåðæàíèå

êîòîðûõ

ìîæíî

ìàêñèìàëüíî

ñîãëàñîâàòü,

“ïðèìèðèòü”

(Ýíãåëüñ) ñ

èñòèíàìè

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

 êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ.

Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû.

Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.

 íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê êàê .

Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln(–x).

Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”.

Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.

 XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.

 íàøå âðåìÿ

òåîðåìà î

ïðîõîæäåíèè

íåïðåðûâíîé

ôóíêöèè

÷åðåç

íóëåâîå

çíà÷åíèå

äîêàçûâàåòñÿ

â

êëàññè÷åñêîì

ìàòåìàòè÷åñêîì

àíàëèçå

÷èñòî

àíàëèòè÷åñêè

ñ

èñïîëüçîâàíèåì

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íîãî

ìíîæåñòâà. Â

XVIII âåêå åñëè

ýòà òåîðåìà

è

äîêàçûâàëàñü,

òî ÷àùå

âñåãî

óêàçàíèåì

íà òî, ÷òî

íåïðåðûâíàÿ

êðèâàÿ f(x),

ñîåäèíÿþùàÿ

òî÷êè À è Â

,

ðàñïîëîæåííûå

â ïëîñêîñòè

ïî ðàçíûå

ñòîðîíû îñè

ÎÕ,

ñóùåñòâóåò

ïî ìåíüøåé

ìåðå îäíà

òî÷êà ñ

àáñöèññîé

õ=ñ, a<c<b, äëÿ

êîòîðîé f(ñ)=0

(ðèñ. 3).

Ðèñ. 3

Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.

Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).

Ðèñ. 4

Ýéëåð è

äðóãèå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

çàäàâàëè

ôóíêöèþ

îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì

è îò ýòîãî

àíàëèòè÷åñêîãî

âûðàæåíèÿ å¸

íå îòäåëÿëè.

Ïðè ýòîì, ïîä

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì,

âîîáùå

ãîâîðÿ,

ïîíèìàëîñü

âûðàæåíèå,

êîòîðîå

ìîæíî

ïîëó÷èòü,

ñâÿçûâàÿ

ýëåìåíòàðíûå

ôóíêöèè

(àëãåáðàè÷åñêèå

è íåêîòîðûå

òðàíñöåíäåíòàëüíûå,

îäíîãî èëè

íåñêîëüêèõ

àðãóìåíòîâ)

ïîñðåäñòâîì

ñëîæåíèÿ,

âû÷èòàíèÿ,

óìíîæåíèÿ è

äåëåíèÿ,

âîçâåäåíèÿ â

ñòåïåíü è

èçâëå÷åíèÿ

êîðíÿ,

ðåøåíèÿ

àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé è

èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñ÷èòàëè, ÷òî

çàäàíèå

ôóíêöèè íà

ëþáîì

ïðîìåæóòêå

îïðåäåëÿåò

å¸ ïîâåäåíèå

íà âñåé îñè

ÎÕ.

Ñîîòâåòñòâåííî

ôóíêöèÿ

ïðåäñòàâëÿëàñü

êðèâîé,

÷àñòè

êîòîðîé

çàâèñÿò

äðóã îò äðóãà

è êîòîðóþ

ìîæíî

çàäàòü

îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì

óêàçàííîãî

âèäà. Òàêèå

ôóíêöèè

ñ÷èòàëè

íåïðåðûâíûìè

(â ñìûñëå

Ýéëåðà),

íàçûâàëèñü

ïðàâèëüíûìè.

Ïðåäñòàâëåííàÿ

íà ÷åðòåæå

(ðèñ. 5)

íåïðåðûâíàÿ

â

ñîâðåìåííîì

ñìûñëå

ôóíêöèÿ ó=|õ|

â ñìûñëå

Ýéëåðà íå

áûëà

íåïðåðûâíîé.

Äåéñòâèòåëüíî,

åñëè

èñïîëüçîâàòü

çàïàñ

ôóíêöèé, ñ

êàêèì

ðàáîòàëè â XVIII

âåêå, òî ýòà

ôóíêöèÿ

äîëæíà áûòü

çàäàíà

äâóìÿ

ôîðìóëàìè:

f(x)=x, 0£x;

f(x)=–x, x£0.

Ðèñ. 5

Âìåñòå ñ

äðóãèìè

ìàòåìàòèêàìè

XVIII âåêà Ýéëåð

ñ÷èòàë, ÷òî

òàêîå

òîëêîâàíèå

ôóíêöèè è å¸

íåïðåðûâíîñòè

äîñòàòî÷íû

äëÿ

èíòåãðàëüíîãî

è

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

è òåîðèè

îáûêíîâåííûõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé.

Íî âîïðåêè

èì îí

ïîëàãàë

âîçìîæíûì

ðàññìàòðèâàòü

â òåîðèè

óðàâíåíèé ñ

÷àñòíûìè

ïðîèçâîäíûìè

è ôóíêöèè,

çàäàíèå

êîòîðûõ íà

îòðåçêå íå

îïðåäåëÿåò

èõ ïîâåäåíèÿ

â öåëîì, ò. å. â

åãî

òåðìèíàõ

ïðîèçâîëüíûå

ôóíêöèè.

Ýéëåð

òðàêòîâàë

íåïðåðûâíîñòü

òàêèõ

ôóíêöèé â

ñîâðåìåííîì

ñìûñëå è

íàçûâàë èõ

ñâÿçíûìè. Ê

òàêîìó

ðàñøèðåíèþ

ïîíÿòèÿ

ôóíêöèè

Ýéëåð ïðèøåë

â ñâÿçè ñ

àíàëèçîì

ðåçóëüòàòîâ

èññëåäîâàíèé

(ñâîèõ è

äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ)

î

êîëåáëþùèõñÿ

ñòðóíàõ.

Ðàññìàòðèâàÿ

òîëüêî

ìîíîòîííîå

èçìåíåíèå

ïåðåìåííûõ —

â òî âðåìÿ

òàê

ïîñòóïàëè â

ìåõàíèêå è

ãåîìåòðèè,—

Íüþòîí,

Äàëàìáåð è

íåêîòîðûå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

òîëêîâàëè

ïðåäåë òîëüêî

êàê òî, ÷òî

ïîðîæäàåòñÿ

ïåðåìåííîé,

ôàêòè÷åñêè

êàê

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

ïåðåìåííîé

èëè êàê

ïîñëåäíåå

îòíîøåíèå

ïåðåìåííûõ.

Âîïðîñ,

äîñòèãàåò

ëè

ïåðåìåííàÿ

ýòîãî

ñâîåãî

ïîñëåäíåãî

çíà÷åíèÿ,

èëè ìîæåò

ïîäîéòè ê

íåìó êàê

óãîäíî

áëèçêî,

íèêàêîé

ðîëè íå

èãðàåò. Â

ïðàêòèêå

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ïðåäåë

äåéñòâèòåëüíî

èçâëåêàëñÿ

èç

ïåðåìåííîé

êàê å¸

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå,

êîòîðîå îíà

ïðèíèìàåò

èëè ìîæåò

ïðèíÿòü. Â

êîíöå XVIII âåêà

Ëàçàð Êàðíî

íàçûâàåò

ïðåäåëîì

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10