: Три кризиса в развитии математики

: Три кризиса в развитии математики

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.

Êàê óæå

óêàçûâàëîñü,

ðàçâèòèå

ïîíÿòèÿ

èíòåãðàëà è

ðàçðàáîòêà

òåõíèêè åãî

âû÷èñëåíèÿ

ïîêàçàëè,

÷òî

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàë

(äâîéíîé,

òðîéíîé

èíòåãðàëû ïî

ïîâåðõíîñòè,

íåñîáñòâåííûå

èíòåãðàëû)

íåîáõîäèìî

îáîñíîâûâàòü

ñàìîñòîÿòåëüíî,

íåçàâèñèìî

îò ïîíÿòèÿ

íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà. Â

ñâÿçè ñ ýòèì

âîçíèê

âîïðîñ î

ñóùåñòâîâàíèè

ïðåäåëîâ

èíòåãðàëüíûõ

ñóìì,

ñëàãàåìûå

êîòîðûõ áûëè

áû

áåñêîíå÷íî

ìàëûìè. Â

ïåðâîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

ïîíÿòèå

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

îêàçàëîñü

íåîáõîäèìûì

è äëÿ

èçó÷åíèÿ è

ñîïîñòàâëåíèÿ

ñâîéñòâ

íåïðåðûâíûõ

è ðàçðûâíûõ

ôóíêöèé.

“Ìåæäó

ìíîãèìè

ïîíÿòèÿìè,—

óêàçûâàë

Êîøè,— òåñíî

ñâÿçàííûìè

ñî

ñâîéñòâàìè

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ,

ñëåäóåò

ïîìåñòèòü

ïîíÿòèå î

íåïðåðûâíîñòè

è

ïðåðûâíîñòè

ôóíêöèé”. Òóò

æå Êîøè äàåò

èñòîëêîâàíèå

íåïðåðûâíîñòè

ôóíêöèè,

êîòîðîå

áîëåå ÷åì

ÿñíî

ïîäòâåðæäàåò

ÿñíîñòü

ýòîãî åãî

óòâåðæäåíèÿ.

Íîâàÿ

ïîñòàíîâêà

çàäà÷

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ÿñíî

ïîêàçûâàëà,

÷òî äåëî íå

òîëüêî â

ïðèçíàíèè è

ïðèìåíåíèè

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ — ýòî

äåëàëè è

ðàíüøå!— íî

ïðåæäå âñåãî

â íàó÷íîì

èñòîëêîâàíèè

èõ

ñîäåðæàíèÿ è

îáîñíîâàííîì

íà ýòîì

èñïîëüçîâàíèè

èõ â

àëãîðèòìàõ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà.

Îäíàêî,

÷òîáû ýòî

ñäåëàòü íàäî

áûëî

ïðåîäîëåòü

ãîñïîäñòâîâàâøåå

â XVIII âåêå

óçêîå

òîëêîâàíèå

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà,

ðàçðàáîòàòü

îáùóþ

òåîðèþ

ïðåäåëîâ.

Ïîëó÷åíèå

îñíîâîïîëàãàþùèõ

ðåçóëüòàòîâ

ñâÿçàíî

çäåñü ñ

èìåíåì Êîøè.

Èçó÷åíèå

ðàçðûâíûõ

ôóíêöèé è

ñîïîñòàâëåíèå

èõ ñ

ôóíêöèÿìè

íåïðåðûâíûìè

çàñòàâèëî

ïðèçíàòü òî,

÷òî ðàíåå

ñ÷èòàëîñü

íåâîçìîæíûì:

ýòîé òî÷êå.

Çíà÷èò,

ïðåäåë íå

âñåãäà

ÿâëÿåòñÿ

“ïîñëåäíèì”

çíà÷åíèåì

ïåðåìåííîé,

íî âî âñåõ

ñëó÷àÿõ

ïðåäåë åñòü

÷èñëî, ê

êîòîðîìó

ïåðåìåííàÿ

ïðèáëèæàåòñÿ

íåîãðàíè÷åííî.

Ñëåäîâàòåëüíî,

dx è dy íå

íåîáõîäèìî

íóëè èëè

ìèñòè÷åñêè

àêòóàëüíî

áåñêîíå÷íî

ìàëûå;

áåñêîíå÷íî

ìàëàÿ — ýòî

ïåðåìåííàÿ,

èìåþùàÿ

ïðåäåëîì

íóëü, ïðè÷åì

ôàêò ýòîò ñ

ïðîòèâîðå÷èÿìè

è

ïàðàäîêñàìè

íå ñâÿçàí.

Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.

Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.

×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.

Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.

Åñëè

ïåðåìåííàÿ

èçìåíÿåòñÿ

íåïðåðûâíî è

ìîíîòîííî,

òî

ïðèíèìàåìîå

åþ

ìíîæåñòâî

çíà÷åíèé

åñòü

èíòåðâàë, à

ïðåäåë — åãî

ïðàâàÿ èëè

ëåâàÿ òî÷êà.

Êàê ãîâîðèë

Í. Í. Ëóçèí, â

ýòîì ñëó÷àå

ïðåäåë

ÿâëÿåòñÿ

“îïòè÷åñêèì”:

îí âèäåí

ãëàçîì. Åñëè

æå ñíÿòü ýòè

îãðàíè÷åíèÿ,

äîïóñòèòü

ïðåðûâíîå è,

ãëàâíîå,

êîëåáëþùååñÿ

ïðèáëèæåíèå

ïåðåìåííîé ê

å¸ ïðåäåëó, òî,

âîîáùå

ãîâîðÿ, ïðåäåë

òåðÿåòñÿ; îí

“ãëóáîêî

ñïðÿòàí

ñðåäè

çíà÷åíèé,

ïðèíèìàåìûõ

ïåðåìåííîé”.

 ñâÿçè ñ

ýòèì

âîçíèêàåò

âîïðîñ: ïðè

âûïîëíåíèè

êàêèõ

óñëîâèé

ïåðåìåííàÿ

èìååò ïðåäåë?

Èçâåñòíî,

÷òî è ýòîò

âîïðîñ

ïîëíîñòüþ

ðåøèë Êîøè.

Îí äîêàçàë,

÷òî

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

õ1, õ2, ., õ

ï, . èìååò

ïðåäåë òîãäà

è òîëüêî

òîãäà, êîãäà

äëÿ âñÿêîãî

ïîëîæèòåëüíîãî

e, êàê óãîäíî

ìàëîãî,

ìîæíî íàéòè

òàêîå

íàòóðàëüíîå

÷èñëî ï, ÷òî

äëÿ ëþáîãî

íàòóðàëüíîãî

÷èñëà ò

|xn+m–xn|<e.

Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.

Êîãäà ñòàëè

ðàçðàáàòûâàòü

íîâóþ

òåîðèþ

ïðåäåëîâ,

ïîíÿòèå ðÿäà,

ðàíåå íå

ðàñ÷ëåíÿåìîå

íà ðÿäû

ñõîäÿùèåñÿ

è

íåñõîäÿùèåñÿ,

ïîëó÷èëî ïî

ýòèì

ïðèçíàêàì

îñíîâíîå

ïîäðàçäåëåíèå.

Áëàãîäàðÿ

ýòîìó

óäàëîñü

óñòàíîâèòü

òî÷íîå

ïîíÿòèå

ñóììû ðÿäà è

íàïðàâèòü ïî

ïðàâèëüíîìó

ïóòè

ðàçðàáîòêó

òåîðèè

÷èñëîâûõ è

ñòåïåííûõ

ðÿäîâ. Â

äàëüíåéøåì,

â ñâÿçè ñ

ðàçðàáîòêîé

ïðîáëåì

òåîðèè

òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ

ðÿäîâ, áûëî

óñòàíîâëåíî,

÷òî

ñõîäÿùèåñÿ

÷èñëîâûå

ðÿäû

ðàñïàäàþòñÿ

íà äâà âèäà —

àáñîëþòíî è

óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû (Äèðèõëå,

Ðèìàí). Ïî

îñíîâíûì

ñâîéñòâàì

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû ñõîäíû ñ

êîíå÷íûìè

ñóììàìè; èõ

ìîæíî

ïåðåìíîæàòü

è

ïåðåñòàâëÿòü

â íèõ ÷ëåíû.

Óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû

ñóùåñòâåííî

îòëè÷àþòñÿ

îò íèõ; Ðèìàí

äîêàçàë, ÷òî

â ëþáîì,

óñëîâíî

ñõîäÿùåìñÿ

ðÿäå ìîæíî

òàê

ïåðåñòàâèòü

åãî ÷ëåíû,

÷òî âíîâü

ïîëó÷åííûé

ðÿä áóäåò

èìåòü

ñóììîé

íàïåðåä

çàäàííîå

÷èñëî; ìîæíî

òàêæå

äîáèòüñÿ

òîãî, ÷òîáû

íîâûé ðÿä

îêàçàëñÿ

ðàñõîäÿùèìñÿ.

Ñëåäîâàòåëüíî,

àëãîðèòìû,

îñíîâàííûå

íà ñâîéñòâå

êîíå÷íûõ

ñóìì, ìîæíî

îòíîñèòü

òîëüêî ê

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèìñÿ

ðÿäàì. Ê

ïåðâîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

îòíîñèòñÿ

îòêðûòèå

Êîøè

ôóíêöèè

, äëÿ êîòîðîé

ìîæíî

ñîñòàâèòü

ðÿä

Ìàêëîðåíà,

ñõîäÿùèéñÿ

ïðè âñÿêîì õ

, íî êîòîðûé

ñõîäèòñÿ

âñþäó ê íóëþ,

à íå ê ýòîé

ôóíêöèè.

Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.

Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.

Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:

“Òîëüêî ê

ðÿäàì

ïåðâîãî

êëàññà

ïðèìåíèìû

çàêîíû

êîíå÷íûõ

ñóìì; òîëüêî

ýòè ðÿäû

ìîãóò áûòü â

ïîäëèííîì

ñìûñëå

ðàññìàòðèâàåìû

êàê ñóììà

âñåõ ñâîèõ

÷ëåíîâ; î

ðÿäàõ æå

âòîðîãî

êëàññà òîãî

æå ñêàçàòü

íåëüçÿ,—

îáñòîÿòåëüñòâî,

óïóùåííîå

èç âèäà

ìàòåìàòèêàìè

ïðîøëîãî

ñòîëåòèÿ,

âåðîÿòíî, ïî

òîé ïðè÷èíå,

÷òî ðÿäû,

ðàñïîëîæåííûå

ïî

âîçðàñòàþùèì

ñòåïåíÿì

ïåðåìåííîé,

âîîáùå

ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ

âñåõ

çíà÷åíèé

ïåðåìåííîé,

êðîìå

íåêîòîðûõ

îòäåëüíûõ),

ïðèíàäëåæàò

ê ïåðâîìó

êëàññó.”

Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10